Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Разумеется, каждому элементу конечной или дискретной группы мы также могли бы поставить в соответствие несколько операторов, однако отсутствие каких бы то ни было требований непрерывности позволило бы нам разбить элементы группы на отдельные множества, в которых на каждый элемент группы приходится ровно один оператор.
Возьмем непрерывную группу и рассмотрим на ней непрерывную функцию f(R). (В частности, такая функция / (R) может быть матричным элементом какого-нибудь представления.) Будем теперь двигаться из некоторой точки R по некоторой кривой в групповом многообразии: каждому значению вещественной переменной т мы сопоставим некоторую точку g(т) группового многообразия, причем
374
Глава 8. Непрерывные группы
g(т) — непрерывная функция от т. При т=0 g(0) = R, поэтому наша кривая начинается в точке R. Будем рассматривать замкнутые кривые, т. е. такие кривые, у которых g(\) = R. Нас б_>дут интересовать значения, которые принимает функция f [g (т)] вдоль замкнутой кривой. Может представиться случай, когда при изменении параметра т от 0 до 1 непрерывно изменяющаяся функция / не возвращается к исходному значению. Проведем все возможные замкнутые кривые g(т). Если, возвращаясь к элементу R, мы найдем т различных значений функции /, мы скажем, что функция / т-значна.
Ясно, что всегда можно выбрать функцию / так, чтобы она была однозначной, так как можно выбрать ее в виде f(R) = 1 для всех R. Но нас интересует именно максимально возможная многозначность непрерывных функций на группе. Эго число является свойством группового многообразия или (для групп Ли) пространства параметров. Если замкнутую кривую g (т) можно непрерывной деформацией стянуть в точку R, то заданная на ней функция / должна после обхода кривой возвращаться к исходному значению. Если это происходит при любом выборе замкнутой кривой на группе, то групповое многообразие односвязно, а всякая непрерывная функция на такой группе должна быть однозначной.
Замкнутую кривую g'(t) можно непрерывным преобразованием стянуть в точку/?, если существует последовательность кривых g( т, ^), где g — непрерывная функция переменных т и 1, такая, что
g(r, 0) — g (т) и g(x, 1 ) = R.
Точно так же две кривые gx (т) и g2(x) можно непрерывно деформировать друг в друга, если
gi СО = g (J, 0) и g2 (т) = g (т, 1).
Если имеется m замкнутых кривых, которые нельзя деформировать друг в друга, то многообразие т.-связно, и могут существовать от-значные непрерывные функции.
При более подробном рассмотрении отдельных непрерывных групп нам придется рассматривать и вопрос об их связности. Пока же мы приведем несколько простых примеров, чтобы проиллюстрировать только что данные определения. Двумерная группа вращений параметризуется с помощью угла поворота ф, поэтому ее групповое многообразие состоит из точек, лежащих на окружности, т. е. является сферой в двумерном пространстве. Функция
/ (ф) = е1Ь
где I — вещественное число, является непрерывной функцией, определенной на этой группе. Если число I целое, функция / однозначна; если /—рациональное число и равно ;,Y, где s и взаимно простые числа, функция / будет ^-значна; если же I — иррациональное
§ 14. Многозначные представления
375
число, функция / бесконечнозначна. Пространство, состоящее из точек окружности, бесконечносвязно. Такие кривые, как
Ф — ? ("0 = ^(1 — "с).
замкнуты и их можно стянуть в точку. Кривая
Ф = g (т) = 2лт
представляет собой однократную замкнутую петлю, и ее уже нельзя стянуть в точку непрерывной деформацией. Последовательность замкнутых кривых
Ф = Sn (x) = 2mx
представляет собой последоватеїьность замкнутых кривых, состоящих из п петель, которые нельзя деформировать друг в друга.
В качестве другого примера мы покажем, что «-мерное евклидово пространство односвязно. Любую замкнутую кривую, проходящую через начало координат, можно записать в виде г = г (т), где г — радиус, идущий из начала координат в точку кривой, и г(0)=г(1)=0. Семейство кривых
г (х, >.) = (1 — >.) г (т)
состоит из замкнутых кривых, деформируемых непрерывно от г (т) при ^--=0 до точки г = 0 при А,= 1. Заметим также, что выбрасывание отдельных точек из пространства не изменяет связности (если размерность пространства больше единицы).
Если между точками двух пространств можно установить взаимно однозначное соответствие, эти пространства обладают одинаковой связностью. Если точки R' выражаются через точки R с помощью функции R' = h(R), то кривая R = g(x) определяет собой соответствующую кривую R' = h[g (х)}.
П
Задача. Покажите, что при п > 2 n-мерная сфера ^ ^ = 1 одно-
/ = 1
связна. [Указание. Воспользуйтесь стереографической проекцией для установления взаимно однозначного соответствия этой сферы с (п — ^-мерным евклидовым пространством.]
Если групповое многообразие от-связно, можно ожидать, что некоторые из неприводимых представлений будут от-значными. Соотношения ортогональности и свойства характеров были получены при неявном предположении о том, что мы имели дело с однозначными представлениями, и перестают быть верными, если некоторые из них многозначны. С другой стороны, этими многозначными представлениями нельзя просто пренебречь, поскольку они играют важную роль во многих физических задачах. Эта трудность преодолевается
