Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 111

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 180 >> Следующая

Потребуем теперь, чтобы операторы D(R) были ограниченными операторами [т. е. чтобы скалярное произведение (0(/?)ф, ф)было конечным для всех ф] и чтобы скалярное произведение (D(R)\J), ф) было непрерывной функцией параметров элемента группы R.
К решению задачи о нахождении представлений группы Ли можно приступить либо непосредственно, либо же вместо этой задачи рассмотреть тесно связанную с ней задачу о нахождении представлений ее алгебры Ли. В последнем случае каждому элементу А алгебры мы ставим в соответствие линейный оператор D(A) в гильбертовом пространстве и требуем, чтобы
D ([А, В\) = D (A) D (В) — D (В) D (А) = [D (A), D(B)\. (8.956)
Но на самом деле для нас представляет интерес лишь нахождение представлений группы Ли, а представление ее алгебры мы используем как промежуточный этап. Поэтому мы должны изучить представления алгебры Ли и показать, как их можно обобщить, чтобы получить представление группы Ли, удовлетворяющее наложенным выше требованиям.
Для однопараметрической подгруппы Ли мы можем ввести канонический параметр t так, чтобы
Оператор представления, соответствующий элементу R(t), мы будем обозначать тем же символом, что и элемент, и уравнение (8.37) рассматривать как операторное уравнение. Если уравнение (8.37) продифференцировать по tx, а затем положить ^=0, t2 = t, то получим
D (Rj) D (R2) — D (RiR2), D (E) = 1.
(8.94)
(8.94a)
D(A+B) = D(A)+D(B), D (a/1) = aD (A),
(8.95)
(8.95a)
R{t, + t2) = R(t{)R(t2), R(Q) = E.
(8.37)
(8.96)
366
Глава 8 Непрерывные группы
Оператор
R = 4!r I =lim ^7—- (8-97)
dt ч=0 1-Ю *
в пространстве представления связан с инфинитезимальным оператором группы Ли, порожденным оператором R (і) [см. (8.62)]. Предположим, что
ihn^-L*
/->0 ‘
существует для системы векторов ф, которая всюду плотна в гильбертовом пространстве, так что оператор R (по непрерывности) вполне определен. Тогда уравнение (8.96) имеет смысл, и его можно использовать, чтобы выразить оператор R (() через R:
R(t) = e«‘. (8.98)
Если мы хотим продолжить построение представлений алгебры Ли, то должны потребовать, чтобы операторы, соответствующие элементам группы Ли [их можно находить с помощью формулы (8.98)], были ограниченными операторами.
Представление группы Ли унитарно, если операторы R(t) унитарны:
(R (0 ф, R (t) ф) = (ф, ср). (8.99)
Дифференцируя по t и полагая t = 0, находим
(Яф, ф) + (ф, /?ф) = 0 при всех ф и ф, так что
R + Rf — 0. (8.100)
Итак, унитарные операторы, служащие представлениями элементов группы, оказываются связанными с антиэрмитовыми операторами в представлении алгебры Ли. Если ввести обозначение R = iH, то
R(t) = eim. (8.100а)
Например, для группы 0(3)—трехмерной ортогональной группы — операторы представления ее алгебры Ли должны удовлетворять соотношениям (8.75):
[ХЬХ2\ = Х3, [X2.X3\ = Xlt (Х3, Хх) = Х2. (8.75)
Если положить iX^ — J^, то
[•А- ^2І = ^3' \^2' ^ЗІ = iJ\, [^3' — (8 101)
Если операторы эрмитовы, то представление группы Ли будет
унитарным. Как мы увидим дальше, все представлечия группы 0(3) эквивалентны унитарным представлениям, гак что в этом случае удобно перейти к эрмитовым операторам 7^.
§ 12. Инвариантное интегрирование
367
§ 12. Инвариантное интегрирование
Чтобы определить характеры и вывести соотношения ортогональности, мы должны получить дія непрерывных групп аналог формулы (8.3). При выводе формулы (8.3) существенным было то обстоятельство, что всем элементам R конечной группы мы приписывали равные веса. В силу этого, если мы суммировали какую-нибудь функцию по некоторому подмножеству 9№, величина 2 / (Я) была,
Ш
очевидно, равна ^jf(S~[R), где STt означает совокупность элемен-
S'14
тов, получающихся из подмножества при левом сдвиге с помощью элемента S. Выбрав в качестве подмножества всю группу О, получим из равенства
2/(Я)=2/($_1Я). (8.102)
Ш S'M
что
2/(Я) = 2/(5-1Я). (8-3)
а о
В случае группы Ли мы должны чем-то заменить утверждение
о том, что вес, приписанный элементу А, равен весу, приписанному элементу ВА, получающемуся из А при левом сдвиге. Каждому набору элементов, принадлежащих окрестности А, мы хотим поставить в соответствие некоторый объем (меру) dxA так, чтобы мера dxBA совокупности элементов, которые получаются из первоначальных элементов при левом сдвиге с помощью элемента В, была равна dxA:
dxBA = dxA- (8.103)
Как только введена лево-инвариантная мера, из нее тотчас же следуют аналоги формул (8.102) и (8.3):
\dxA/(A)= \ dxBAf{B~lA)= Ґ dxAf (В~1а), (8.104)
т в-т вш
J dxAf (А) — J dxAf(B~lA). (8.104а)
о о
Значения параметров множества Ш, принадлежащего окрестности элемента А, близки к значениям параметров элемента А. Если параметры элемента А мы обозначим символом а(а1.............аг), то
совокупность элементов множества Ш будет в пространстве параметров занимать объем da. Если над этим множеством мы произведем левый сдвиг с помощью элемента В, параметры которого равны Ь, то параметры множества ВШ, возникающего в результате этой операции, будут принадлежать окрестности величин сА— Ф* (я. Ь), задаваемых соотношением (8.23). Итак, параметры множества
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed