Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
рассматриваем систему вблизи положения устойчивого равновесия (см. рис.
11, я), это выражение будет положительно определенным и все Хт будут
положительными. Если же мы находимся вблизи такого положения равновесия,
которое изображено на рис. 11, г, числитель будет отрицательным и все %т
окажутся отрицательными. В случае, соответствующем рис. 11,6, мы должны
ожидать как положительные, так и отрицательные %т, тогда как в случае
безразличного равновесия по крайней мере одна из %т обращается в нуль. В
следующем параграфе мы столкнемся со всеми этими возможностями.
Вернемся теперь к Qm, для которых мы имеем из (3.118) и (3.119):
Q"=I]c"a/<mV (3.136)
к, I
74
Умножая это равенство на суммируя по т и используя (3.134), получим:
2]arQm= 2] = <?V- (3.137)
т k, I, т
Совокупность равенств (3.136) и (3.137) и определяет преобразование от qk
к Qm и наоборот.
Выразим кинетическую и потенциальную энергии системы через Qm и Qm:
Т = У c-uiQkqi = 2 ^ = 2" 2 Q"1'
k, I k, i, hi, n m
(3.138)
u = Y 2] bklqkqi = ' bkla{kl)a(tn)QmQn =
k, I k, /, /71, П
= 2 2 2 = у (3-139)
m, n k, I m
где нами использованы соотношения (3.131) и (3.128).
Мы обнаружили, что преобразования (3.137) приводят как кинетическую
энергию, так и потенциальную к сумме квадратов соответствующих переменных
или, другими словами, приводят их к главным осям.
Уравнения движения переходят, конечно, в (3.115), решения которых можно
записать в виде:
Qm = Qlney ie>mt, (3.140)
где
юот = '|/'Ят. (3.141)
Мы обнаруживаем, что положительным значениям к,п соответствуют
действительные значения <лт и, следовательно, настоящие колебания, тогда
как отрицательные кт ведут к чисто мнимым ют и, следовательно, к
монотонно возрастающей или убывающей амплитуде. Теперь мы уже в состоянии
увидеть связь между видами потенциальной энергии в окрестности
равновесного состояния (рис. 11) и устойчивостью равновесия.
Величины Qm называются нормальными координатами, и каждой из них
соответствует одна из нормальных частот. Если только одна из них отлична
от нуля, мы
75
получаем для qk выражения типа (3.116), где общая частота оч просто равна
wm, в то время как амплитуды Ак пропорциональны а[т). В общем случае q,t
представляют собой линейные комбинации различных 0т, образуемые согласно
(3,137).
§ 3.2. Двойной маятник
Теория, изложенная в предыдущем параграфе, будез проиллюстрирована на
нескольких простых примерах. В качестве первого примера мы выбрали так
называемый двойной маятник (рис. 12). В р такой маятник входят две массы
М и т; первая масса находится на фиксированном расстоянии а от точки
подвеса Р, а вторая -на фиксированном расстоянии b от первой массы. Мы
можем ограничиться движением системы в одной плоскости, так что система
будет обладать двумя степенями свободы. Более того, для упрощения
вычислений мы будем считать а = Ь. В качестве обобщенных координат мы
выберем углы ср и ij) (см. рис. 12). Потенциальная энергия системы U
запишется в виде:
U - С- Mga cos ф -
- mga(cos<p-f costy), (3,201)
где С -константа, определяющая нуль потенциальной энергии, a g -ускорение
силы тяжести.
Положения равновесия определятся из уравнений
дУ
<5ф
= pgaslncp = 0,
дУ
<5iJj
= mga sin = 0. (3,202)
Здесь через (л обозначена сумма масс обеих частиц:
ц = т + М. (3.203)
Уравнения (3.202) имеют четыре совокупности решений;
(1) феч = феч = 0; (11) феЧ = 0, 1|>еч = я;
(111) феч = Л, tyeq = 0; (IV) фе, = tye;, = Л. Непосредственно видно, что
решение (1) соответствует
(3.204)
76
устойчивому равновесию, а потенциальная энергия в окрестности этого
положения равновесия ведет себя так, как па рис. 11, а. Решения (II) и
(III) соответствуют рис. 11,6, а решение (IV) -рис. 11, г. Если мы
обозначим ?1 = ф -4>eq> q-l = ty - 'i'eqi МЫ ПОЛуЧНМ ДЛЯ ПОТеНЦИЗЛЬ-ной
энергии системы в приближении малой амплитуды:
1
U-U,
eq
ga[\iql + mql], (I);
ga[\iq\-mqi], (II);
(III);
ga[-\xq\-mq% (IV).
(3.205)
Нетрудно убедиться, что кинетическая энергия в том же приближении
запишется следующим образом:
Т = y (-^Ф2 + у ma4f та2фф cos (ср - if),
= 0 (I);
= 0 (II);
или же
Т = 1-Ъ2 [nqf + 2mqlq2 + mq\], (I), (IV);
(3.206)
- 2 a2 [\iq\ - 2mq1q2 + (II), (III).
Уравнение (3.121) для нашего случая запишется так:
X\ia2 - [iga '/.та1
Хта2 Хта2 - mga
X\ia? - \nga - Xma3
- "кто? Xma2 + mga j
Х\ха2 -f Hga - Xma2
- Xma2 Xma2 -
Xjia2 -f hma2
Xma2 Xma2 -f /ng'a
Из уравнения (3.207) вытекают алгебраические уравнения для Я;
(I) Ма?Х2 - 2\xgaX -f [<g2 = 0;
(II), (III) MatX2 - [ig2 = 0; (3.208)
(IV) Ma2X2 + 2HgaH-ng* = 0.
77
= 0 (III);
¦mga
= 0 (IV).
(3.207)
Корни этих уравнений таким образом равны:
собственные значения к ¦
(I) Хи а (,ug/Ma) [\ ± Vт/(л];
(II), (III) Xh^±{gIa)VVfM\ (3-2°9)
(IV) ч 2 = - (P-g/Ma) [I dr Т^т/ц],
причем мы использовали (3.203).
Мы нашли, что в случае (I) оба значения X положительны (поскольку т-<р.);
в случаях (II) и (III) одно значение X положительно, а другое
отрицательно; в случае же (IV) оба значения X отрицательны. Этот
