Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
результат находится в полном соответствии с рассуждениями в связи с
(3.135). Очень поучительно взглянуть на нормальные координаты в случаях
(I), (II) и (III). Мы найдем их из (3.136) и (ЗЛ И). Второе из этих двух
уравнений определяет нормировку aim>; если не принимать в расчет
нормировку, мы обнаружим, что Qm не обязательно приводят одновременно
кинетическую и потенциальную энергию к виду (3.138) и (3.139). Очень
просто найти отношения aim) и довольно утомительно добиваться их
нормировки. Выпишем окончательный результат:
(1)
Qi - а j/~ ~2 + ~2 У "(Г
(И)
(III)
Yi_
0 , = а | / -2 j.'
Qi - "|/ ^ •a]f-
1
ц
V
т
Ж
т
+
т ¦ <7г];
V^-Yir<ь
Яг
(3.210)
Qi
Y^-Yy^-Y
Яч
Яг
Чтобы понять, какой вид движения соответствует нормальным колебаниям
(модам), начнем с первого случая (I). Если реализуется только первая мода
колебаний Qlt то Q2 должно равняться нулю, откуда следует, что qx и q,
должны быть противоположного знака и амплитуда q3
78
I
В) e)
Рис. 13. Нормальные моды двойного маятника. Р - точка подвеса.
а) Первая мода для случая (I), когда потенциальная энергия имеет
абсолютный минимум.
б) Вторая мода для случая (I), когда потенциальная энергия имеет
абсолютный минимум.
в) Первая (устойчивая) мода для случая (II), когда потенциальная
эиергия имеет седлообразную точку.
г) Вторая (нестабильная) мода для случая (II), когда потенциальная
энергия имеет седлообразную точку.
5) Первая (устойчивая) мода для случая (III), когда потенциальная энергия
имеет седлообразную точку.
е) Вторая (неустойчивая) мода для случая (III), когда потенциальная
энергия имеет седлообразную точку.
На рис. в, г, д, е кривая, описываемая центром масс двух масс т и М,
изображена пунктирной линией.
больше амплитуды <7! в V\i/m раз. Это означает, что рассматриваемая мода
выглядит примерно так, как это изображено на рис. 13, а. Аналогичным
образом мы получим для второй моды картинку, приведенную на рис. 13, б. В
случаях (II) и (III) мы сталкиваемся с одной устойчивой модой
(соответствующей положительному значению Кх) и одной неустойчивой модой
(для отрицательного значения Х2). Эти моды изображены на рис. 13, в - е.
Мы хотим обратить внимание читателей на то обстоятельство, что устойчивая
мода в случае (II), например, включает в себя движение обеих масс М и т.
С первого взгляда может показаться, что масса М будет оставаться в покое.
Однако если масса М имеет конечное значение, то при движении массы т на
нее будет оказываться некоторое действие; поэтому устойчивая мода
реализуется только в том случае, когда обе массы движутся (в
противоположном направлении) таким образом, что потенциальная энергия
фактически возрастает. Любопытно отметить, что если М-+ оо, стабильная
мода действительно соответствует движению только одной массы т.
В предельном случае М -у 0 мы найдем для случая (I), что для первой моды
^->-00: масса т расположена па вертикали под точкой подвеса Р (в этом
случае <7i = - <72)> тогда как масса М колеблется с бесконечно большой
частотой. Для второй моды мы находим, что </i = <7а и Я2 = д/2а: система
колеблется так, как если бы у нас был обычный маятник длиной 2а!
§ 3.3. Молекулярные колебания
Теория малых колебаний играет важную роль при изучении колебаний молекул.
В этом параграфе мы довольно подробно разберем колебания двухатомных
молекул, таких, например, как НС1, нелинейных трехатомных молекул с
симметричной равновесной конфигурацией, таких как Н20, и, наконец,
линейных трехатомных молекул типа С02. В большинстве рассуждений
предполагается, что взаимодействия между атомами, входящими в молекулу,
аддитивны и что они могут быть описаны г\ ежа томным потенциалом, общий
вид которого приведен на рис. 14.
Начнем с двухатомной молекулы, которую мы будем представлять себе в виде
гантели, т. е. системы, обра-зозаппой двумя массами т1 и тг,
взаимодействующими
60
между собой по центральному закону с потенциалом V (г). Лагранжиан такой
системы запишется в виде:
L - -j Щ ($i + ill + 2;) + g тч (-*•< + Уа + 2s) + ^ (r 12). (3.301)
где rl2 = V(Xi - x2y + (yx - г/2)2 + - z2f и где xlt yu zL,
x2, y2, г2 -декартовы координаты первой и второй частиц. За обобщенные
координаты мы примем координаты центра масс X, Y и Z и сферические
координаты г, б и ф для относительных координат:
MX = + m2x2,
MY - mxyY + m2ih,
MZ = /ЛА +
M = m1~{-mi; (3.302)
Г Sill 0 COS ф = *! - Xo, r sin 0 sin ф = Ух~Уц r cos 0 = zx - z2.
Перепишем лагранжиан в обобщенных координатах: L -1 М {к* + У"+ Z2) + у И
(г2 + ^ + г2 sin2 8 ф2) -U (г),
(3.303)
где через ji обозначена приведенная масса,
ц = т1т2/М. (3.304)
Положение равновесия находится из условия:
% = 0, (3.305)
откуда г = г0 (см. рис. 14). Остальные пять координат можно выбрать
произвольно. Допустим, что мы выбрали Х0, У0, Z0, 60 и Фо- Определитель -
уравнение для определения кт - теперь имеет вид:
ш 0 0 0 0 0
0 хм 0 0 0 0
0 0 ш 0 0 0
0 0 0 - b 0 0
0 0 0 0 ьу* 0
0 0 0 0 0 Ци1 sin2 60
