Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
в противоположных направлениях. Если бы мы использовали Rk и Sf, вместо
Qk для описания нормальных мод, мы получили бы вместо бегущих волн
стоячие волны.
Случай, когда "кристалл" образован линейной цепочкой из двух сортов
чередующихся масс, оказывается более сложным *). Кинетическая и
потенциальная энергии теперь уже запишутся так:
т - } м 2 &+iгп 2 {ZM7)
/ /
U = \ "У [((/у - "й/.дУЧ (<7у - Q-ij-i)3] ¦ (3.418)
/
Вместо одной группы координат (3.404) или (3.406) мы введем две группы (в
последующем повсюду будут использоваться комплексные переменные, и Rk
теперь уже будут комплексными переменными, в отличие от (3.413), где они
были действительными):
^ = V ~ш 2 (3.419)
*) Сравните с методом, использоваиным в книге Ч. Киттеля "Введение в
физику твердого тела", М., Физматгиз, 1963, стр. 132.
fcy+l:
Y
2
c J p- 2lit (2/'+ 1) kiN Q Nm Zj Kb'
(3.120)
Кинетическая и потенциальная энергии перепишутся в этих координатах так:
(QkQ-k + RhR-k),
U^a
2M=L J_ 2RkR-k + ___
м ' m (тМ)и'л " N
(3.421)
2nk
(3.422)
Мы снова обнаруживаем, что моды с различными значениями k не связаны
между собой, но величины Q" и Rk с одним и тем же k - связаны. Уравнение
для собственных значений при заданном k имеет вид:
2а
М *
2а 2я/е
¦ - cos ----
YmM N
2а
YmM
2а
2л>г Cu-i-------
- 0;
(3.423)
из него мы получаем значения со*:
о Г 1 , 1 -1- U 1 I 1 Vs 4 /0,0*4
- ОС , , 4- - - л I -г- - J - ,-7,- Sill I . (и), 42l)
я 1М 1 т l\M mj тМ N \ \ '
Для заданного значения со" отношение Q*//?* получается обычным путем, н
мы приходим к результату:
9/l _ 1 ГМ и cos (2nk/N) _ -\/~М "-Va'wco|
Rji ~ \ . т a -Vn.Mco \ V
т a cos (2nk/N)'
(3.425)
Из (3.424) и (3.425) можно выяснить физическую природу нормальных
координат. Если в (3.424) выбрать нижний знак, то и>% всегда меньше, чем
2а/m, и меньше, чем 2а/М, так что Qk и Rk имеют одинаковый знак: две
соседние массы движутся в фазе [см. (3.419) и (3.420)]. При k->0
собственные частоты соЛ пропорциональны k, и мы имеем дело со звуковыми
волнами. Та ветвь спектра собственных частот, которая соответствует
нижнему знаку, называется поэтому акустической ветвью.
Если взять верхний знак, т. е. верхнюю ветвь, со! всегда больше, чем 2а/т
и 2а/М, и две соседние массы будут двигаться б противоположных
направлениях. Если
М
две эти массы обладают различными электрическими зарядами, как это имеет
место, например, в кристаллах галогенидов щелочных металлов, нормальные
колебания связаны с колебаниями дипольного электрического момента.
Поэтому ветвь колебаний, соответствующая верхнему знаку в (3.424),
называется оптической ветвью. В га-логенидах щелочных металлов этой ветви
соответствуют лежащие в инфракрасной области частоты, называемые
частотами остаточных лучей (Reststrahlen).
Другие свойства нормальных колебаний в кристаллах остаются читателю для
самостоятельного рассмотрения.
§ 3.5. Колебания около равновесного движения
Существует немало задач, когда нас интересует устойчивость не только
положения равновесия, но также и устойчивость равновесного (устойчивого)
движения. Эти проблемы вышли на первый план при исследовании орбит частиц
в ускорителях.
Здесь мы займемся простым двумерным случаем *) частицы, движущейся по
круговой орбите под действие;.! центрального потенциала U (V),
задаваемого формулой
U = - Ar~a, (3.501)
где А и а- постоянные, а г - расстояние от центра. Нас интересует вопрос,
насколько устойчиво такое движение по окружности радиуса г0. Лагранжиан
системы имеет вид:
L = 1 т {г2 -1- гЧ2) + Ага, (3.502)
где через 0 обозначен полярный угол, а уравнения Лагранжа имеют вид:
mr - mr№JraAra~1 = 0, mr4-\-2mrrb = 0. (3.503)
Если мы имеем дело с движением по кругу, то / = 0; поэтому из второго
уравнения следует, что 6 = const. Положим 0 = со0. Тогда из первого
уравнения мы получим:
m/'0co;S = aAr~a~l. (3.504)
Теперь мы рассмотрим колебания около этого равновесного движения,
характеризуемого величинами г0 и "о, связанными между собой соотношением
(3.504). Для
*) Г, Голдстейн, Классическая механика, Гостехиздат, 1957.
93
исследования колеоании положим:
Г = Г0 + qu 0 = м0 -1- q2. (3.505)
Подставляя (3.505) в (3.503) и пренебрегая членами второго порядка
относительно qh мы получим (члены нулевого порядка сокращаются в силу
(3.504)):
mqx - т"'?! - 2mr^0q2 - а (а + 1) AiTa~2qi = 0,
"•, о • а (3.506)
tnr^q.l -|- '2mrn(oi)q1 = 0.
Вели мы предположим теперь, что !?г u q., периодичны во времени с одной и
той же частотой,
Qi - Ахе'ш, q.2 -¦= А2еш, (3.507)
аналогично (3.116), то мы придем к следующему секуляр-ному уравнению для
со:
т (- со2 - coj) - а (а + 1) Аг"- 2тг0ш0 2тг0л)ит m/^ш
= 0. (3 508)
Из этого уравнения найдется один нулевой корень, соответствующий слегка
смещенной равновесной круговой орбите, где (^0+^i) н (мо+^а)
удовлетворяют тому же уравнению, которому раньше удовлетворяли величины
г0 и со0, т. е. уравнению (3.504). Уравнение, которому удовлетворяют
остальные корпи, имеет вид:
