Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 22

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 70 >> Следующая

удовлетворять определенным уравнениям.
70
Чтобы убедиться во всем этом, мы исходим из (3.114). Умножая каждое из
уравнений на постоянный множитель аА и суммируя по k, получим:
2 cki^k(]i + 2 Ьк1<*кЯ1 = 0.
к, I k, I
Воспользовавшись симметрией коэффициентов сы и Ьм, заменим в последней
сумме индекс k на I и наоборот. Тогда мы получим то же самое выражение,
но в более удобном для дальнейшего виде:
"^2 bkiaiQk = 0. (3.117)
к, I к. I
Если это уравнение должно совпадать с (3.115), где Qm является линейной
комбинацией qk,
Q" = 2Pi'n,<7A* (3.118)
k
то ak и P<,m) должны удовлетворять уравнениям
yibklal = Xm^\ ?с*'(r)'= Р*"'* (3.119)
/ I
ИЛИ
'^(bkl-'kmckl)al = Q, = (3.120)
i i
Первая система уравнений, входящая в (3.120), будет иметь нетривиальные
решения для ait т. е. решения, отличные от тривиального решения at = 0,
для /= 1, 2, ... ..., s, лишь в том случае, если Хт будет одним из корней
уравнения, записанного в виде определителя:
1 bUi KnCkl I " 0"
Ьц hen ... bis
&21- ^с21 ... -0. (3.121)
bsx ••• &ss ^ss
Если Хт - один из корней уравнения (3.121), то из
(3.120) можно найти отношения величин ак, а следовательно, и величин
что и позволяет в конечном
счете составить линейную комбинацию qk, образующих Qm, которые в свою
очередь удовлетворяют (3,115).
71
Заметим прежде всего, что из теории линейных уравнений вытекает, что ah
должны быть пропорциональны минору ?-го элемента любой строчки
определителя (3.121). Отсюда следует, что отношения, которые мы находим
для ал, зависят от %т. Уравнение (3.121) имеет s корней, и таким образом
найдется s наборов величин а,, (а*,т); т - 1, 2, ..., s) и,
следовательно, s наборов |3<,т) и s величин Qm. Описанная процедура
проводится совершенно непосредственно лишь в том случае, когда корни %т
невырожденные, т. е. если среди корней нет равных. Ситуация усложняется,
когда есть кратные корни. Мы не станем разбирать здесь случай кратных
корней, отсылая читателя к другим руководствам, а будем предполагать, что
все корни различны. Если кратных корней нет, мы находим s различных
значений Кт, s различных наборов а* и s величин Qm. Мы отметим только,
что даже в том случае, когда корни кратные, возможно найти такую
совокупность различных Qm, для которых а(?г) удовлетворяют к тому же
(3.122). Вплоть до конца параграфа мы в целях простоты будем считать, что
все корни (3.121) различны.
Мы начнем с доказательства того, что все Х:а действительны. Чтобы
убедиться в этом, перепишем (3.119) так:
Ьк!ос<'п> =* 2 cwajm>, (3.122)
i i
где верхним индексом (т) отмечено, что для различных значении Я,"
величины ак различны. Умножая (3.122) на и суммируя по k,
получим:
^ Ь",а(tm)*а(tm) =К^,сь1а^*а<т>. (3.123)
к, 1 к, I
Вычитая из полученного выражения (3.123) комплексно сопряженную ему
величину, мы получим:
(л," - К) 1] с""Г*"Г - 0. (3.124)
Поскольку см ~ с1к, а сами си - действительные величины, сумма по k и I
также действительная величина. Кроме того, эту сумму можно переписать в
виде:
где через а^п> и ?><,"'* обозначены действительная и мшг мая части а[т).
Из физического смысла суммы
'^CkrfuQh
2 2 _ к. I
являющейся кинетической энергией, вытекает, что обе суммы в правой части
(3.125) положительно определены. Но тогда из (3.121) следует
(3.126)
другими словами, что все действительны. Ясно, что этот результат является
следствием того, что кинетическая энергия является положительно
определенной величиной.
Если все \п действительны, то из того, что akm) пропорциональны минорам
определителя (3.121), следует возможность выбора всех а*"1) также
действительными величинами. (Поскольку весь набор aim) для данного
значения т можно умножить на общий множитель, который может быть и
комплексным, мы не можем утверждать, что все кГ действительны; однако их
можно выбрать действительными.) Мы будем предполагать, что сделан именно
такой выбор а(ьп) для заданного т. Мы выберем к тому же а^п) так, чтобы
выполнялось условна
аГ = 1. (3.127;
к. I
Последнее уравнение называется условием нормировки а./1П). Если умножить
(3.122) на сс*1* и просуммировать по k, мы получим:
2 bkialm)ain) = cULv.\m)а(ьп). (3.128
к. I к, I
Вычитая из уравнения (3.128) это же самое уравнение, но в котором индексы
тип поменялись местами, мы придем к соотношению:
(3.129)
к, I
из (3.129) следует, что при тфп
0. (3.130)
Ы
Таким образом, объединяя (3.127) и (3.130), мы приходим к следующим
условиям ортонормировки:
(3.131)
К I
где 8тп - символ Кронекера,
= 0, тфп] бтл=1, т = п. (3.132)
Если умножить (3.131) на а^п) и произвести суммиро-
вание по п, мы получим соотношение
2Г2 (3.133)
* U. я J
из которого непосредственно следует
^ск1а\п) "<"'=6*,. (3.134)
I. п
Из (3.123) можно получить:
(т)
т~ ' (ЗЛ85)
В (3.135) внаменатель дает значение кинетической энергии, когда qk равны
a*n). Если aim) нормированы согласно (3.131), знаменатель превращается в
1/2. Числитель равен потенциальной энергии, если qk равны a*m>. Если мы
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed