Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
со2 = (2 - а) (%. (3.509)
Отсюда видно, что при условии а < 2 орбита будет устойчивой.
Обратим внимание на то, что секулярное уравнение (3.508) куда более
сложно, чем (3.121), поскольку здесь со входят не только через со2, но и
в первой степени. Это не удивительно, поскольку мы занимаемся уже не
поло-женнядш равновесия, а равновесным движением.
ЗАДАЧИ
3. Исследуйте *) малые колебания однородного прямого стержня в
вертикальной плоскости; стержень подвешен на невесомо:'; нера-стяшшой
нити, прикрепленной к одному из его концов.
*) В этой и следующих задачах "исследуйте" означает: вычислите
собственные частоты нормальных колебаний ц найдите вид нормальных
колебании.
94
2. Исследуйте малые колебания следующей системы: однородный прямой
стержень свободно вращается около фиксированной точки, в которой
закреплен один из его концов; на другом его конце на невесомой и
нерастяжимой нити подвешена точечная масса. Колебания происходят в
вертикальной плоскости.
3. Однородный круговой диск подвешен к неподвижной точке с помощью
невесомой нерастяжимой нити, закрепленной в одной из точек граничной
окружности диска. Исследовать малые колебания этой системы под действием
силы тяжести. Колебания происходят в вертикальной плоскости.
4. На тонкой гладкой тяжелой проволочке, согнутой в форме окружности,
может скользить бусинка. Исследуйте малые колебания системы в поле
тяжести, если проволочка, закрепленная в одной из своих точек,
раскачивается в своей плоскости, а бусинка скользит по проволоке.
5. Невесомая нерастяжимая нить длиной (2 1^2+1) а закреплена своими
концами в точках А и D, отстоящих друг от друга, на расстояние За на
одном и том же горизонтальном уровне Две частицы с одинаковыми массами т
закреплены на нити соответственно в точках В и С, причем AB - CD = У 2 а.
Частица с массой т подвешена на невесомой нерастяжимой нити длиной а к
массе, находящейся в точке В, и другая частица той же массы т подвешена
аналогичным образом к С. Исследуйте малые колебания этой системы под
действием силы тяжести в вертикальной плоскости, в которой расположены
все нити.
6. Невесомая нить длиной Аа растянута до натяжения Т между двумя
заданными точками; три частицы, каждая из которых обладает массой ц,
закреплены в точках, делящих нить на четыре равные части.
Пренебрегая влиянием силы тяжести, исследуйте малые продольные и малые
поперечные колебания системы.
7. Невесомая нить длиной 4а растянута между двумя фиксированными
точками А и В до натяжения Т. Частица массы m закреплена в ее середине С.
Две другие частицы массой m прикреплены к нити в точках D и ?, являющихся
серединами отрезков АС и СВ. Когда система покоится, мгновенно сообщают
небольшие поперечные скорости в одном и том же направлении частицам U и
Е. Найти смещение частицы С как функцию времени.
8. Однородный твердый прямой стержень АВ лежит на гладком
горизонтальном столе. Концы стержня А и В привязаны невесомыми нитями к
фиксированным точкам стола С и D. При равновесии точки CABD лежат на
одной прямой. Исследовать малые поперечные колебания стержня.
9. Три частицы с различными массами подвешены на невесомой
нерастяжимой нити, один из концов которой закреплен. Докажите, что если
периоды трех нормальных мод совпадают с периодами простых маятников
длиной л2, то сумма + ?.3 + равна расстоянию от точки подвеса до самой
нижней частицы.
95
10. На каждую из двух параллельных горизонтальных проволочек надето
закрепленное невесомыми растяжками кольцо массы т; когда кольцо смещается
на расстояние у от положения равновесия, на него действует возвращающая
сила Ху. Когда кольца находятся в положении равновесия, линия,
соединяющая их, перпендикулярна обеим проволочкам, а расстояние между
ними равно I. Однородная струна с линейной плотностью р растянута между
кольцами до натяжения Т. Исследовать нормальные колебания системы.
11. Однородный твердый брусок массы М и длины L, шириной которого мы
пренебрегаем, симметрично подвешен на двух вертикальных струнах, каждая
из которых имеет коэффициент упругости а; расстояние между струнами равно
х (x<L). При равновесии брусок занимает горизонтальное положение.
Показать, что при условии x=L/V3 возможно возбудить такие колебания
бруска в вертикальной плоскости, при которых наперед заданная точка
бруска останется в покое.
12. Однородная струна длиной L и линейной плотностью р лежит на гладкой
горизонтальной плоскости. Один ее конец жестко закреплен в некоторой
точке А плоскости, а другой прикреплен к кольцу массы М, которое скользит
по гладкому горизонтальному стерженьку, расположенному в этой плоскости
на расстоянии I от точки А. Натяжение струны равно Т. Найти уравнение,
определяющее период малых колебаний системы.
13. Металлический блок массой 3т имеет внутри сферическую полость
радиуса а, где скользит, без вращения, шар массы т, радиус которого мал
по сравнению с а. Блок скользит по гладкой горизонтальной плоскости К
