Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
где мы не должны забывать о том, что ps - постоянная величина. Введем
теперь так называемую функцию Рауса, определив ее следующим образом:
R = L - pscjs, (2.404)
56
Если воспользоваться теперь (2.402) и (2.403), мы най дем, что
R = R(Qi, •••, qs-i, qi......Qs-u Ps)- (2.405)
Чтобы написать уравнения движения через функцию Рауса, составим вариацию
"1- 2 " в<,+ 2
k = i k = 1
== - 2 Ws5qs'
k = 1 = 1
откуда непосредственно вытекает выражение для 8R: bR = б (L - psr/s) = 6L
- ps6</, - r/s6ps =
S - 1 S - 1
= 2 Pkbq*+ 2 Pk^Qk-q^Ps, (2.406) * = 1 i = l
причем мы использовали для pk их выражение через
(2.310), а также (2.401). Из (2.406) находим:
*=>........s-'. <2-407)
ИЛИ
""-"-*> 4-1.....................*-'• (2-'108)
Можно решить уравнения (2.408), и когда все рк и qk для k= 1, ..., s - 1
будут найдены, можно воспользоваться уравнением
<2-409)
чтобы получить qs в зависимости от времени. Отметим, что уравнения
(2.408) по форме совпадают с уравнениями Лагранжа (2.308), но их на одно
уравнение меньше; точло так же (2.407) по форме совпадают с (2.310) и
(2.311).
Если циклических координат не одна, а несколько, можно всех их
игнорировать одновременно, составив функцию Рауса
/? = 1-Д>Ль (2-410)
i
где суммирование ведется по всем игнорируемым степе-Ням свободы,
57
Мы продемонстрируем применение функции Рауса на примере игнорирования
степеней свободы, связанных с центром масс. Рассмотрим систему из N
частиц с координатами Xt (г=1, N), потенциальная энергия кото-
рых зависит только от относительного расстояния между частицами:
U =U (\Xi - Xj I). (2.411)
Введем координаты центра масс
MX = '?mixl, (2.412)
t i
и координаты относительно центра масс
Xi^Xi - X, (2.413)
которых остается всего лишь 3N - 3, поскольку они дол-
жны удовлетворять равенствам
^triiXi - 0, (2.414)
i
как это сразу же вытекает из (2.412) и (2.413).
Кинетическую энергию системы можно представить в виде:
( ;
+ ^т-ЛхгХ^Т. + Т^ (2.415)
i
где мы воспользовались (2.414) и где через 7\ и Тг
обозначены соответственно кинетическая энергия, связанная
с движением центра масс, и кинетическая энергия, связанная с движением
частиц относительно центра масс:
тг = м(х¦ к), Tj"у 2т<(¦*•-•¦*<)• (2'416>
С
Из (2.411) вытекает, что потенциальная энергия зависит только от x'i, так
что лагранжиан
L = T-U = T1 + T2-U (2.417)
не содержит координат центра масс, которые оказываются, таким образом,
игнорируемыми. Введем функцию Рауса
R = L-(PyX), (2.418)
№
где
(2.419)
представляет собой вектор полного импульса. Функция Рауса превращается
тогда в
/?= -Ti + Ti-U, (2.420)
и уравнения (2.408) дают уравнения относительного движения, тогда как
(2.409) описывает равномерное и прямолинейное движение центра масс.
В заключение этого параграфа мы коротко остановимся на одном вопросе,
который в наше время почти полностью утратил актуальность, но вызывал
огромный интерес на заре развития классической механики. Вернемся к
маятнику Томсона - Тэта, о котором шла речь в предыдущем параграфе. Там
оказалось, что угол ср был игнорируемой координатой. Мы обнаружили, что
переменную ср можно исключить и получить уравнение движения
(2.333) для оставшейся координаты 6. Конечно, то же самое уравнение
можно было бы получить, если ввести функцию Рауса и игнорировать
переменную ср способом, который мы только что описали. Если взглянуть на
полученное дифференциальное уравнение
(2.333), то видно, что хотя никакой потенциальной энергии у системы
нет, уравнение (2.333) имеет в точности такой же вид, как уравнение
одномерного движения в потенциальном поле. Обратив внимание на такие
случаи, Герц пришел к выводу, что в сущности никакой потенциальной
энергии не существует: она появляется только тогда, когда мы
рассматриваем незамкнутую систему. Такая точка зрения уже неприемлема в
наше время; действительно, можно подойти к этому вопросу с несколько
другой стороны, как мы убедились в этом в самом начале етой главы: мы
показали, что кинематические еоотноше-
Рис. 10. Случай "скрытых" масс. Масса свободно движется в горизонтальной
плоскости, а нить, связывающая массы т1 и т2, может двигаться без трения
через отверстие в этой плоскости.
59
ния могут быть получены предельным переходом из подходящим образом
выбранной потенциальной энергии.
В этой связи говорят иногда о скрытых массах; такие скрытые массы, как
это предполагалось, вызывают посредством кинематических соотношений
псевдопотенциаль-ную энергию такого типа, с каким мы столкнулись в
(2.333). Разберем очень простой пример, в котором и в самом деле скрытая
масса создает такую псевдопотенциальную энергию (рис. 10). Две массы тх и
т2 связаны невесомой нитью длины /. Масса т2 может свободно перемещаться
по горизонтальной плоскости, нить может двигаться без трения через
отверстие в плоскости, а масса тх движется вертикально. Система обладает
двумя степенями свободы, и за обобщенные координаты мы примем величины х
и ср (см. рис. 10). Лагранжиан системы запишется в виде:
