Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
i)
' 1 т
1 Ли - ] -у = О,
V -Y Ли -V2
V
Г
(И)
1 Р' -Y =0, (3.317)
(III)
¦V2 - Y ?•!< - V2
\тв 0 О
0 2 ЬпА 0 = 0,
О 0 2\тА
гле
(.! - тла*!аЬ*, у = с[Ъ
(3.318)
В нормальных колебаниях, соответствующих уравнению (3,317, I), только qx,
qf и qa отличны от пуля; для уравнения (3.317, II) отличны от нуля q2, qb
и q7' в случае же (3.317,111) отличны от пуля qs, q8 и q$.
Оказывается, что все К в группе (III) равны нулю, что соответствует тому
факту, что все три г-координаты - циклические. Нормальные координаты
могут быть выбраны таким образом, чтобы соответствовать трансляции в 2-
направлении и вращениям вокруг осей х и у.
Из совокупности X группы (I) два значения равны пулю; они соответствуют
трансляциям вдоль оси х и вращению вокруг оси г. Поучительно убедиться в
том, что па самом деле для этих двух движений q2 и qb обращаются в нуль
(ср. рис. 16, а и б). Третье значение Я, отличное от пуля, соответствует
нормальному колебанию вида, изображенного на рис. 16, в.
Из совокупности К группы (II) одно значение, соответствующее трансляции в
направлении оси у, обращается в нуль (рис. 16, г); два других отличны от
нуля (рис. 16, 3 и е). Мы предоставляем читателю определение нормальных
координат для различных случаев; это не очень веселое, но достаточно
простое упражнение.
Теперь мы займемся линейной молекулой типа Л,В, примером которой может
служить СОа. На первый взгляд, можно ожидать, что появятся четыре
собственных значения, отличных от нуля, поскольку теперь остались только
дпе циклические координаты, соответствующие вращению. Это соответствует,
конечно, пяти степеням свободы жест-
65
кой линейной структуры, такой как молекула типа гантели. Оказалось, что
именно так можно рассматривать двухатомную молекулу, о которой шла речь в
начале этого параграфа. Более того, можно было ожидать также,
Рис. 16. Нормальные моды нелинейной трехатомной молекулы п плоскости; а,
б, в соответствуют корням (3.317, I); г, д, е соответствуют корням
(3.317, II),
что о поведении линейной молекулы можно судить по предыдущему случаю,
считая в нем с равным нулю. Оказалось, однако, что, вместо четырех
отличных от нуля собственных значений, мы получаем только два таких
значения. На рис. 17 изображены шесть нормальных мод
о ¦¦ а>--'0> |-----
Рис. 17. Нормальные моды линейной трехатомпон молекулы в плоскости.
линейной молекулы типа А.,В в плоскости, соответствую" щей шести модам
рис. 16. Собственные значения, соответствующие рис. 17, а, б, г, е, стали
теперь равными нулю, тогда как собственные значения, соответствующие
движениям, выводящим частицы из плоскости, остались равными нулю. Причины
такого поведения собственных значений состоят в следующем. Мода,
изображенная на
д)
рис. 17, е, соответствует смещениям такого характера, что изменение
расстояния между любой парой атомов, образующих молекулу, будет
КЕадратичной функцией смещений атомов, и таким образом первый
неисчезающий член в потенциальной энергии (3.311) будет квадратичным; при
малых колебаниях этим членом можно пренебречь.
Мы знаем, что те моды движения, которые нарушают линейность молекулы
(примером может служить мода, изображенная на рис. 17, е), обладают
отличной от нуля частотой. Поэтому нам следует заняться нецентральными
силами. Простейшим случаем будет потенциал вида
и = \ "и*; -дг')2 + (*;-хгу\+1ры-Уу + (z[-zfy+ + (У*-УГ + & - гУ\ +
~У(Х[~ *;)", (3.319)
где а, р и у - постоянные, а х', у', г', ... - те же самые координаты,
которые мы использовали в (3.312). Секуляр-пое уравнение в случае
линейной молекулы также может быть разложено на множители
(факторизовано); каждый из множителей соответствует одной из трех
координатных осей. Снова вводя qx согласно (3.313) и группируя теперь уже
qlt <74, qb, а также q2, qe, q1 и, наконец, q3, q8, q9, мы найдем три
группы собственных значений. Первые три собственных значения будут
корнями уравнения
hriQ-2а -2а
-2а 2hnA - 2а
О
О
2Ал1, - 2а - 4у
= 0, (3.320)
а двум другим группам соответствует один и тот же триплет собственных
значений, благодаря тому, что теперь задача симметрична по у и г. Эти три
двукратно вырожденных собственных значения будут корнями уравнения
Хтв-2(5 0
-2(5
2 }\Л1А - 2(5
- 2(5 0
2 Хт. - 2(5
= 0.
(3.321)
Здесь мы нашли уже шесть собственных значений, отличных от нуля *), а
именно те, которые соответствуют
*) Поскольку использованные сейчас группы qi отличаются от тех групп,
которыми мы пользовались в (3.317), моды, соответствующие рис. 17, а, в,
д, соответствуют (3.320), а соответствующие рис. 17, б, е, е -
соотношению (3.321).
87
рис. 17, в и 17, д (решениям (3.320)), и те, которые соответствуют рис.
17, б и 17, е (решениям (3.321); эти собственные значения двукратно
вырождены). То обстоятельство, что у нас теперь оказалось два отличных от
куля собственных значения, в значительной мере связано с тем, что
потенциал (3.319) уже не инвариантен относительно вращений; такой
потенциал не очень приемлем с физической точки зрения.
