Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
способами. Во-первых, можно просто ожидать три поступательные и три
вращательные степени свободы у твердого тела. Этот интуитивный подход
требует, конечно, более строгого обоснования. Возьмем для начала три
частицы, не лежащие на одной прямой. Положение каждой из этих частиц
может быть определено заданием трех ее координат, но в случае твердого
тела
98
есть еще три связи типа (2.108), которые оставляют системе всего лишь
шесть степеней свободы (ср. рассуждения в § 3.3 по поводу трехатомной
молекулы). Положение каждой следующей частицы в системе снова определится
тремя координатами, но расстояния этой частицы до первых трех частиц
заданы и поэтому не возникает никаких новых степеней свободы.
В качестве шести обобщенных координат, определяющих конфигурацию твердого
тела, мы выберем три координаты центра масс X, Y и Z и три угла 0, ф и
г]5, характеризующих ориентацию тройки взаимно перпендикулярных осей в
пространстве. Очевидно, что три первые степени свободы соответствуют
поступательным степеням свободы, тогда как второй триплет соответствует
вращательным степеням свободы. Чтобы определить угловые координаты, мы
выбираем три координатные оси X, Y и Z жестко связанными с телом, тогда
как через х, у, z обозначены оси, неподвижные в пространстве (см. рис.
18).
Угол 0 определяется просто как угол между осями z и Z. Угол ф -это угол
между осью х и линией узлов, которая определяется как линия пересечения
двух плоскостей: оху и ОХУ. Наконец, угол г]) представляет собой угол
между линией узлов и осью X. Введенные таким образом углы называются
углами Эйлера.
Следует предупредить читателя, что в литературе нет единообразия ни в
определении, ни в обозначении углов Эйлера. Использованное здесь
определение - наиболее распространенное, но если вам приходится
сопоставлять те или иные выражения в разных руководствах, непременно
следует проверить определение углов Эйлера.
Для будущего удобно получить выражения для косинусов углов между одной из
осей х, у, z и одной из осей X, Y, Z. Эти выражения легко получаются из
рис. 18,
1
Рис. 18. Углы Эйлера. Система координат XYZ жестко связана с телом,
система xyz неподвижна в пространстве.
4*
99
косииусов и синусов
(4.101)
(4.102)
если воспользоваться формулами сфе р и чес ко й тр и тонометр и и:
cos а - cos b cos с -j- sin b sin с cos А,
sin а _ sin Ь _ sin с
sin A sin В ~ sin С '
где через а, Ь, с обозначены длины дуг сферического тре-
угольника ABC, а через А, В, С -углы между соответствующими дугами (см.
рис. 19).
Результаты представлены в табл. 1. Каждая из величин, приведенных в
таблице,-это значение косинуса
угла между осью, указанной в верхней части соответствующего столбца, и
осью, указанной в левой части соответствующей строки. Стоит отметить, что
результаты, сведенные в табл. 1, могут быть также получены более
непосредственно, если заметить, что преобразование от осей XYZ к осям xyz
молено расщепить на три последовательных вращения: поворот на угол я|з
вокруг оси Z, поворот вокруг оси X ш.( угол 0 и поворот на угол <р вокруг
оси г.
Таблица I
Косинусы углов между осями, жестко связанными с телом, и фиксированными
пространственными осями, выраженные через углы Эйлера
Рис. 19. Сферический треугольник.
X Y z
X COS l|) COS ф - - cos 0 sin ij) sin Ф - sin 1|) cos ф - - cos 6
cos -ф sin ф sin 0 sin ф
Я COS l|) sin (|> + -r cos 0 sin t|j COS ф - sin -ф sin ф + -f-
cos 0 COS 1|> COS ф - sin 0 COS ф
г sin ф sin 0 cos i|> sin 0 cost
В дальнейшем будет удобнее описывать движение твердого тела через угловые
скорости вращения относительно осей X, Y, Z, чем через производные 0, ф,
ф. Тем не менее, поскольку 0, ф и г]; войдут в уравнения Лагранжа,
необходимо иметь связь между этими двумя наборами угловых скоростей. Если
р, q и г (или же colt ша и ю3) являются угловыми скоростями вращения тела
100
относительно осей X, Y и Z, мы найдем!
со! = р = В cos if-]- ф sin В sin ф,
"г = Ц - - б sin-f ф sin0 cosip, (4.103) ш3 = г = ф cos 0 + ф.
Эти уравнения можно получить, если помнить, что 0, фиф представляют собой
угловые скорости вращения вокруг линии узлов OQ, вокруг оси 2 и вокруг
оси Z соответственно.
Теперь мы найдем уравнения движения твердого тела в системе отсчета,
неподвижной в пространстве, другими словами, в инерциальной системе. В
конце концов нам понадобятся эти уравнения и в той системе отсчета,
которая жестко связана с телом. Для получения этих уравнении мы
воспользуемся принципом Д'Аламбера (2.226):
^ (miXi - Fi ¦ 8Xi) = 0, (4.104)
i
где через F, обозначены внешние силы, действующие на частицу, и где
перемещения 8х-, таковы, что кинематические соотношения не нарушаются.
Последнее требование накладывает довольно сильные ограничения и означает
фактически, что допустимы только два типа 8х
(I) 6xt = ё и (II) блгг = [е, Xi\, (4.105)
соответствующих трансляциям и вращениям тела.
Комбинируя (4.104) и (4.105,1), получим:
(
•Sm^We.^iV (4-106)
или же, поскольку е - произвольный вектор,
