Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
блоку прикреплена горизонтальная пружина, коэффициент упругости которой
равен 4mg/a; другой конец пружины закреплен. Исследовать малые колебания
системы, когда она движется вдоль направления пружины.
14. Однородный тонкий полый цилиндр массой 2т и радиусом 2а катится по
абсолютно шершавой горизонтальной плоскости. Внутри него катитсд второй
однородный тонкий полый цилиндр массы т и радиуса а, у которого в одной
из точек на поверхности закреплена частица с массой 2т. Исследовать малые
колебания этой системы,, если скольжения между цилиндрами нет.
15. Ромб, образованный четырьмя одинаковыми стержнями длиной 2L,
соединенными на шарнирах, расположен симметрично в вертикальной плоскости
над мягко закрепленным цилиндром радиуса а; ромб находится в равновесии,
когда все стержни наклонены под одним и тем же углом i|) к горизонтальной
плоскости и когда ниж-ние стержни не касаются цилиндра. Определить
значение i|j и вычислить частоту малых колебаний ромба, когда эти
колебания симметричны, через величину \|>.
16. Карманные часы лежат на гладком горизонтальном столе. Предположив,
что они совершают колебания с малой амплитудой и что они показывают
точное время, когда корпус часов неподвижен, вычислите, насколько быстрее
пойдут часы в условиях задачи.
96
17. ABCD - однородная квадратная пластинка со стороной 2а. Угол А может
без трення скользить вдоль закрепленного горизонтального стержня. Угол В
привязан невесомой нерастяжимой нитью длиной й/3 к неподвижной точке, так
что при равновесии пластинка зиснт в вертикальной плоскости
перпендикулярно стержню, нить засположепа вертикально, сторона СО -
горизонтально и ниже АВ. Исследовать малые колебания системы.
18. Рассмотреть одномерный "кристалл", состоящий из N атомов,
•неположенных по окружности (см. § 3.4). Допустим, что в мо-леит t = 0
один из атомов смещается на малое расстояние d. Опирать последующее
движение атомов кристалла.
19. Тонкая проволочка массы М изогнута в виде винтовой ли шп х - а cos
ij>; у = а sin "ф; z = mt>tgf) и может свободно вращаться юкруг оси г,
направленной горизонтально. Длина проволочки выб->ана так, чтобы центр
масс лежал на оси г. По проволочке сколь-!Пт без трения кольцо массы т.
Проволочка покоится, когда кольцу, сходящемуся в самом нижнем положении,
сообщается горизонталь-1ая скорость аа вдоль проволочки. Показать, что,
если со не слиш-;ом велико, плоскость, проходящая через кольцо и ось,
колеблется ;ак математический маятник длиной
а (М -\-т sin2 р)
М cos2 p-|-m sin2 р i что проволочка поворачивается на угол пклТ sin2 р
cos р М cos2 р + /я sin2 р а каждый период Т движения маятника.
20. Однородный стержень АВ длиной 21 и массой m движется вертикальной
плоскости под действием силы тяжести, причем
дин из его концов ограничен в своем движении горизонтальной ипией LM; это
движение происходит с постоянным ускорением а. ц:йти период малых
колебаний стержня около его относительного сложения равновесия.
21. Исследовать малые колебания маятника Томсона-Тэта :м. § 3.2) около
равновесного движения.
22. Частица ограничена в своем движении гладкой поверхностью, аданной
уравнениями
л' = р cos i]>, (/ = psini[-, г = ?> sin 6,
ас p = fl-|-bcos9 (a>b).
Доказать, что в том случае, когда никаких сил, кроме
реакций
вязи, нет, движение вокруг внешнего экваториального круга будет
стойчивым; если же это движение будет слегка возмущено, новая раехтория
будет пересекать экватор на расстояниях п\Ь(а^-Ь).
Показать также, что движение вокруг внутреннего экваториаль-ого круга
нестабильно и что, если это движение слегка возмущено, раекторпя частицы
будет пересекать внешний экваториальный круг од углом 2 arctg ] bja
.
4 Д, тер Хаар 97
Глава 4
ДИНАМИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
После введения углов Эйлера выводятся два уравнения движения твердого
тела: одно - описывающее его поступательное движение, другое - его
вращательное движение. Получено выражение для кинетической энергии
твердого тела, записанное через его моменты инерции и угловые скорости,
отнесенные к главным осям тела. Выведены уравнения Эйлера н прилагаются к
рассмотрению твердых тел, на которые не действуют внешние силы, и к
рассмотрению тяжелого симметричного волчка. Обсуждается прецессия и
нутация земной оси, обусловленная солнечными и лунными силами тяготения.
В последнем параграфе рассматриваются силы Кориолиса и их влияние на
свободное падение тел и движение сферического маятника (маятник Фуко).
§ 4.1. Введение
До сих пор рассматривались системы, состоящие из многих точечных частиц,
которые в общем имели ту особенность, что каждая из этих частиц могла
двигаться в известной степени независимо. В этой главе мы займемся
системами частиц, которые уже не могут быть расположены вдоль прямой и
которые обладают той особенностью, что расстояние между любой парой
частиц остается всегда неизменным. Такие системы называют твердыми
телами.
Твердое тело имеет шесть степеней свободы. В этом можно убедиться двумя
