Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
компоненты полного импульса системы. Чтобы показать это, мы замечаем, что
для систем такого рода лагранжиан инвариантен относительно любого
поступательного перемещения (трансляции), т. е. инвариантен относительно
всех преобразований вида
Xi - Xi + е,
где через 8 обозначен произвольный вектор тогда следует, что
6L = 0= V(^L-e),
или же
2^ = 0. i
$
(2.605) . Из (2.602)
(2.606)
поскольку вектор " - произвольный, Используя уравнения Лагранжа (2.308),
получим:
(2.607)
или
2^=2т,'*,="р=соп51, (2-608)
Мы видим, что закон сохранения полного импульса следует из того, что
лагранжиан инвариан тен относительно любых поступательных перемещений.
Теперь перейдем к случаю, когда лагранжиан инвариантен относительно
вращения вокруг некоторой оси. Пусть эта ось параллельна некоторому
вектору л; через 6ф мы обозначили угол поворота вокруг этой оси.
Координатой qr, фигурирующей в (2.603), является, таким образом, угол ф,
и следует ожидать, что соответствующий обобщенный импульс р1р окажется
интегралом движения. Этот импульс оказывается просто моментом импульса
относительно этой оси.
Проще всего это обнаруживается, если вспомнить, что вращение вокруг л на
угол бф соответствует преобразованию координат
Последнее выражение может быть преобразовано:
где через Мп обозначена компонента полного момента импульса системы
(1.309) вдоль направления ц,
64
Xi -¦ Xi + бф [л, *,], и (2.602) может быть поэтому записано в виде:
(2.609)
6L=.0=25(P(V'Z''[/*'
(2.610)
Или же окончательно!
л-Ц[х,. яЛ]) = const = М", (2.612)
Отсюда сразу же следует, что если лагранжиан инвариантен относительно
любых вращении, то полный момент импульса системы сохраняется.
И, наконец, остановимся на том случае, когда лагранжиан инвариантен по
отношению к изменению временной координаты, т. е. когда лагранжиан не
зависит от времени явно:
где в промежуточных выкладках использованы лагран-жевы уравнения движения
и (2.613). В том случае, который для нас особенно интересен, когда
потенциальная функция U зависит только от координат qk, a qk входят
только в кинетическую энергию, которая к тому же является однородной
квадратичной функцией qt!, мы получим:
где через Е обозначена полная энергия системы.
Итак, если лагранжиан инвариантен относительно преобразования времени, то
из этого обстоятельства вытекает закон сохранения энергии. Фактически
этот результат представляет собой лишь частный случай первого закона
сохранения, полученного выше, если декартовы координаты рассматривать на
равных правах с времеи-ибй координатой (ср. § 5.4).
3 Д. гер Хаар 65
(2,613)
В этом случае мы найдем, что
к
к
к к к
(2.615)
Тогда из равенства (2.614) вытекает:
dt
d
= 0 = ±{T-U-2T), (2.616)
откуда, наконец, можно заключить, что Е - Т -1- U = const,
(2.617)
ЗАДАЧИ
1. Рассмотреть движение сферического маятника с помощью уравнений
Лагранжа первого рода.
2. Рассмотреть движение точечной частицы иа наклонно"! плоскости в
однородном поле тяжести с помощью уравнений Лагранжа первого рода.
3. Используя уравнения Лагранжа первого родя, рассмотреть движение
частицы, ограниченной в своем движении линией пересечения поверхности
сферы и заданной плоскости.
4. Исследовать движение обруча, катящегося по наклонной плоскости,
5. С помощью уравнений Лагранжа исследовать движение двух частиц,
связанных гибкой нерастяжимой нитью, движущейся без трения. Одна из
частиц движется по гладкому горизонтальному столу, а нить проходит через
небольшое отверстие в столе к другой частице (см. рис. 10 на стр, 59).
6. Твердый однородный цилиндр массы т и радиуса г катится без
скольжения по наклонной плоскости клииа массы М, который лежит на
абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Угол, составляемый наклонной
плоскостью и горизонтом, равен ip; движение происходит в плоскости,
перпендикулярной горизонтальной плоскости, проходящей через нормаль к
наклонной плоскости. Найти ускорение клина, используя уравнения движения
Лагранжа.
7. Однородный стержень весом Mg и длиной L опирается одним концом на
гладкую горизонтальную поверхность, а другим -на гладкую вертикальную
стенку, В начальный момент стержень покоится, находясь в вертикальной
плоскости, перпендикулярной стенке, составляя угол 60° с горизонтальной
плоскостью. Интегрируя 'равнения Лагранжа, определить движение стержня до
того, пока он не ударится о горизонтальную поверхность.
8. Бусинка массы т свободно скользит по гладкой проволоке, изогнутой в
виде окружности радиуса а, которая в свою очередь вращается с угловой
скоростью со вокруг оси, проходящей через одну из ее точек нормально к
плоскости окружности. Исследуйте подробно движение бусинки и найдите
выражение для реакции связи, действующей со стороны проволоки но бусинку.
Глава 3
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Довольно подробно рассматривается общая теория малых колебаний около
положения равновесия; показывается, как вводятся нормальные координаты.
Теория иллюстрируется на примерах малых колебаний двойного маятника,
