Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(2.102) и (2,104). Рассмотрим виртуальные перемещения частиц Ьх{. Под
виртуальными перемещениями мы будем понимать такие перемещения частиц,
которые не нарушают кинематических соотношений. Найдем работу,
совершаемую силами Ft, когда частицы совершают виртуальные перемещения.
Мы убедимся, что в двух разобранных случаях виртуальная работа,
совершаемая силами, действующими со стороны связей, равна нулю.
В трехмерном случае (2.107) в систему входят две частицы, и две силы,
действующие в системе, и Fit равны по величине, противоположны по
направлению (третий закон Ньютона!) и направлены вдоль прямой,
43
соединяющей эти частицы. Следовательно,
F[ = - El = - a'(xl - x:2), (2.201)
где а'-скалярная величина. Связь (2.106) в трехмерном случае принимает
вид (2.108):
ri9 = (*1 - • Xj - хг) = Iя, (2.202)
и виртуальные перемещения бл^ и блг2, не нарушающие уравнение связи
(2.202), должны удовлетворять уравнению
(лгх - х2 • &xt - бл:2) = 0. (2.203)
Виртуальная работа 6W7, совершаемая силами связи, определяется как
6W = (F[ • 6хг) + (/^ • блг2). (2.204)
Используя выражения (2.201) и (2.203), мы получим!
бW -а' (хг - х, • 6jCj) + а' (хг - х2 • блга) -
- - а' (лгх - л:2 • 6х! - 6хг) - 0, (2.205)
откуда и вытекает доказательство нашего утверждения.
В другом случае мы записываем уравнение связи (2.112) в виде:
(n-x) = d, (2.206)
где через п обозначен единичный вектор с направляющими косинусами а, (5 и
у. Сила, действующая со стороны связи F', направлена по нормали к
плоскости (2.206),
Т. в,
F'-kn, (2.207)
где k - скаляр; виртуальное перемещение удовлетворяет условию
(л-блг)-О. (2.208)
Объединяя (2.207) и (2.208), мы находим виртуальную работу &W,
совершаемую силой F
6Г==(Г .8лг)-А(л-8х) = 0, (2.209)
что и доказывает наше утверждение и в этом случае.
Теперь мы просто определим механическую систему как такую систему, в
которой виртуальная работа, совершаемая силами связи, равна нулю. Эго и
есть принцип Д'Аламбера: "Виртуальная работа, совершаемая силами,
44
действующими со стороны связей, равна нулю в любой механической системе".
В последующем мы будем рассматривать исключительно механические системы.
Здесь мы использовали принцип Д'Аламбера таким образом, что определили
механические системы как такие системы, для которых этот принцип
справедлив. Другими словами, мы определили Механические системы как такие
системы, в которых силы, действующие со стороны связей, не могут
совершать виртуальной работы. Можно, конечно, иначе ввести этот принцип
(по существу этот другой способ очень мало отличается от того, что мы
только что сделали), считая его просто гипотезой, которая оказывается
фактически оправданной. Следует, конечно, помнить, что этот принцип
теряет силу, как только мы хотим учесть влияние трения.
Принцип Д'Аламбера выражается уравнением
? (Я-в*,)-0 (2.210)
<
при условии, что бхI удовлетворяют р уравнениям
(вле*-V(Oi) - 0, /- I, 2...., р, (2.211)
t
где G[ - функции, входящие в кинематические соотношения (2.113).
Уравнения (2.211) определяют виртуальные перемещения, т. е. такие
перемещения, при которых дгг + бд^, так же как Xi, удовлетворяют
соотношениям
(2.113).
Используя (2.210) и (2.211), мы можем теперь уже найти еще 3N - p
соотношений, которые вместе с (2.116) и (2.113) позволяют нам полностью
определить движение всей системы частиц. Если никаких ограничений на
значения 6xt нет, уравнения (2.210) совместны только с уравнениями Fi -
0. Это в свою очередь приводит к исходным уравнениям движения (tniXi -
Fi) для того случая, когда на систему не наложены никакие кинематические
соотношения. Уравнения Fi - 0 как раз и представляют нам недостающие 3N
соотношений. Если же на систему наложены кинематические соотношения,
тогда не все б Xi являются независимыми, но они обязаны удовлетворять
(2.211). Тогда мы можем выбрать произвольно всего лишь 3N - p компонент
bXi из их общего числа 3N, а оставшиеся р компонент найдутся уже из
(2.211). Можно попытаться исключить р этих компонент из (2.210),
45
добавив к ним р уравнений (2.211), умножив каждое нз них на должным
образом подобранный множитель л;. Тогда мы должны получить:
+ (2-2 *2)
i \ I I
Множители ki мы выберем таким образом, чтобы коэффициенты. при первых р
компонентах бxt обратились в нуль:
Ft -I- V X^fii = 0. (2.213)
i
Уравнения (2.213) справедливы для р комнонпп и
позволяют определить все>"г. Подставляя полученные мно-
жители %i в (2.212), мы видим, что сумма по г, которая вначале
подразумевала суммирование 3N слагаемых (i = = 1, 2, ..., N и три
слагаемых в каждом скалярном произведении), свелась уже к сумме 3N - p
слагаемых. По теперь уже оставшиеся 3N - p компонент бл*,-независимы и
(2.212) могут удовлетворяться только в том случае, если все коэффициенты
при блг,- обращаются в нуль, т. е. если (2.213) справедливо для
остающихся 3N - p компонент. Именно это уравнение и позволяет нам, в
принципе, няпти решение интересующих нас уравнений движения. У пас есть
