Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
теперь 3N уравнений (2.116), р уравнений (2.113) и 3N уравнений (2.213)
для 3.V значений xit для ЗА'значений FI и р значений
Изложенный метод называется методом неопределенных множителей или методом
множителей Лагранжа. Сейчас мы выясним физический смысл множителей
Лагранжа к/.
Из (2.213) и (2.116) мы приходим к уравнениям движения Лагранжа первого
рода
(2.214)
(=i
совместно с р кинематическими соотношениями (2.113). Мы хотели бы,
однако, подчеркнуть, что, говоря об уравнениях Лагранжа, практически
всегда подразумевают не уравнения (2.214), а уравнения Лагранжа второго
рода,
о которых речь будет идти в следующем параграфе.
Из (2.213) непосредственно видно, что Я; тесно связаны с силами,
возникающими из-за наличия связей. Мы покажем это на нескольких простых
примерах. Возможно,
46
г,
простейшим примером будет наличие связи (2.206), которая ограничивает
движение частицы плоскостью. В этом случае имеется всего лишь одно
кинематическое соотношение и соответствующая функция G дается уравнением
G(x)'~(n-x) - d, (2.215)
так что пз (2.213) мы получаем:
F= - ln. (2.216)
Мы обнаруживаем, что в этом случае ?"- это просто абсолютная величина
силы, обусловленной наличием связи.
Интересно отметить, что из (2.110) мы получаем для компоненты силы
F,нормальной плоскости (2.112), в том случае, когда с имеет еще конечное
значение:
Fn - m (х -п) =с[(п-х) - d],
(2.217)
Множитель X оказывается просто предельным значением выражения, стоящего в
правой части (2.217).
Аналогичная ситуация возникает и в машине Атвуда, состоящей пз двух масс
пи ш2, связанных между собой невесомой нитью заданной длины; нить
перекинута через невесомый блок, вращающийся без трения (рис. 8). Запишем
уравнение связи для этого случая:
G(zu z2) = zl + z.i-t = 0. (2.218;
Согласно (2.213) мы получим сейчас:
F[~ - X, F'%=* - \. (2.219)
Уравнения же движения запишутся так:
mi*i - - т\S - ma-2 = - nhg - (2.220)
где g - ускорение силы тяжести. Из этих уравнений видно, что X - это
просто натяжение нити. Решить уравнения движения можно с помощью (2.218),
и мы найдем, что более тяжелая масса, скажем, ти движется вниз с
постоянным ускорением а, величина которого определяется по
47
Рис. 8. Машина Атвулз.
формуле
rii - m2
a = ^-^g, (2.221)
mt -j- m2 6 v '
а натяжение нити X равно
- = (2.222)
mi + mi
Результат (2.221) интуитивно очевиден: "движущая" сила равна разности сил
mxg и m2g, тогда как инерциальные свойства системы описываются суммой
масс тг и /п2.
В качестве последнего примера мы рассмотрим двухатомную молекулу
(гантель), центр инерции которой ограничен в своем движении плоскостью.
Уравнений связи в этом случае уже два:
Gi и (*! - *")• + (f/j - + (zj - г2)* - /* = О,
G-i = (ШуХх + т.,хг -n) - d = 0, ^ '
Из (2.213) мы получим:
Fi = -2/.х (*! - Хо) -
Ft - 2/.j (Хг - хг) - Кт2п. (2-224)
Из этих уравнений следует, что возникающие из-за наличия связи силы
направлены вдоль оси молекулы. Силы эти пропорциональны и подчиняются
третьему закону Ньютона (действие равно противодействию). Возникают также
силы связей, пропорциональные Я2. Если мы составим их результирующую,
действующую на центр инерции молекулы, мы получим:
и.м.|= (tTtitn2) ti. (2.225)
Это выражение полностью аналогично силе связи, определяемой согласно
(2.216), но теперь уже оно относится к центру инерции молекулы, а не к
отдельной частице.
Вернемся теперь к обсуждению общего случая.Объединив (2.210) и (2.116),
мы можем придать принципу Д'Алам-бера вид:
2 К*,-/v 6*,) = 0, (2.226)
i
где 5;сг удовлетворяют уравнениям (2.211). Рассмотрим теперь две
возможные траектории системы. Это значит, что мы рассматриваем две
траектории, для которых выполняются кинематические соотношения. Пусть,
далее, одна
48
ив втих траекторий, а именно jc, (0. соответствует действительному
движению системы. Вторая возможная траектория описывается уравнением лг,-
(/)+ бдг,-(/). Мы рассматриваем возможные траектории, достаточно близкие
к действительной, и поэтому можем считать бXi(t) малыми величинами. Для
вариаций 8xt скоростей мы найдем:
блг/ = ^ (х, + ?>х,) - ~ Xi = ^ Ьхи (2.227)
обнаружив при этом важную особенность вариационного исчисления:
переставимость варьирования н дифференцирования. Если рассмотреть две
траектории, проходимые в промежутке времени от tx до t2, мы найдем из
(2.226):
$ 2 "Xi - Fi ¦ Ьхй dt = 0, (2.228)
и *
поскольку подинтегральное выражение тождественно равно нулю в любой
момент времени. С помощью (2.227), интегрируя первый член по частям, мы
получим:
0 =* ^mi (х i ¦ &Xi) I'* - I ЬТ -f У] (Ft ¦ б xi)
dt, (2.229)
v, _
11
где через T обозначена полная кинетическая энергия:
Г = (2-230)
i
Если же ограничиться системами, в которых силы Ft получаются из
потенциальной энергии U,
Ft = - V;(y, (2.231)
так что
2(Fr&Xi) = -6 U, (2.232)
i
и такими вариациями dixit что
6jC; = 0 при t - tx и при t = tit (2.233)
то из (2.229), (2.232) и (2.233) мы иолучим: it it
$ (б Т - &U) dt = 8 \(Т~ V) dt = b\Ldt = Q, (2.234)
