Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 16

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 70 >> Следующая

<i h и
49
где через L обозначена функция Лагранжа (или лагранжиан), определяемая
согласно равенству
L - T~- U. (2.235)
Уравнение (2.234) носит название вариационного принципа Гамильтона; оно
годится в том случае, когда концы траекторий остаются без изменений, т.
е. не варьируются. Принцип Гамильтона эквивалентен как принципу Д'Алам-
бера, так и исходным ньютоновским.уравнениям движения, если только
траектории, по которым движутся частицы, удовлетворяют кинематическим
соотношениям. Преимущество принципа Гамильтона над двумя вышеупомянутыми
формулировками законов движения состоит в том, что он не зависит от
выбора координат, с помощью которых описывается система.
§ 2.3. Уравнения Лагранжа
Мы уже говорили о том, что кинематические соотношения ограничивают число
степеней свободы рассматриваемой системы до 3N - p (=s), и во многих
случаях более удобно сразу ввести s независимых переменных, задание
которых полностью определяет состояние системы, чем по-прежнему
пользоваться N величинами Xi (т. е. 3N декартовыми координатами) наряду с
кинематическими соотношениями и множителями Я,-/. Следует отдавать себе
отчет в том, что, переходя к обобщенным координатам qk (k=\, 2, как
принято называть такие новые пара-
метры, мы, как и раньше, имеем дело с механическими системами, для
которых справедлив принцип Д'Ала'мбера; однако эта гипотеза не выступает
здесь уже столь очевидным образом. Обобщенные координаты qk являются
функциями всех Xt и обратно; что касается обобщенных скоростей fa, то они
связаны с Xi соотношениями
<2-301>
к
Подставляя х-" выраженные через qk согласно (2.301), d выражение (2.230)
для кинетической энергии, мы получим;
1
где aht являются функциями от qbt определенявши согласно
формулам
2 <2-303"
i
Из (2.302) видно, что Т есть однородная квадратичная функция qk.
Вплоть до этого момента всюду предполагалось, что потенциальная энергия
U-зависит только от координат хс, теперь, следовательно, потенциальная
энергия будет функцией только обобщенных координат qk, т. е. U = U-(qk).
Лагранжиан же будет функцией как qh, так и qh (в этой же главе ниже будет
также кратко рассмотрен и потенциал, зависящий от скоростей):
L = L (qk, Qk) - T (q," qk)~U{qk). (2.304)
Применим теперь вариационный принцип Гамильтона к лагранжиану (2.304).
Вариация лагранжиана запишется в виде:
"=2адб"'+2^л'*' <2-305>
k k
тогда как граничные условия (2.233) здесь уже перепишутся так:
б<7* = 0 при t - ty и при t - t2. (2.306)
Из вариационного принципа (2.234) мы получим теперь: h t, t,
t; ttk tt k
2dL c *2 f VI d dL * .
k I, k
U
tt k f, ft
Мы воспользовались здесь тем обстоятельством, что и 8qk не независимы
друг от друга: величины 6qk являются просто производными по времени от
&qk [ср.
Настало время, когда мы можем воспользоваться преимуществами, которые нам
предоставляет введение обобщенных координат. Поскольку обобщенных
координат ровно столько, сколько степеней свободы у системы, вариации &qk
являются независимыми функциями времени и уравнение (2.307) может быть
удовлетворено только в том случае, если справедливы следующие s
уравнений:
= *-'-2................<2-308>
Уравнения (2.308) называются уравненияма Лагранжа второго рода или чаще
просто уравнениями Лагранжа. Поскольку вывод соотношений (2.308) не
зависит от выбора координат, то, переходя от одних обобщенных координат
qk к другим q'k, мы придем к уравнениям Лагранжа вида
-rf ^ _ I1, = 0. (2.309)
dt dqk d.lk v
Прежде чем заниматься более подробным исследованием уравнений Лагранжа,
мы введем обобщенные импульсы pk, определив их равенствами
л = (2.310)
Для декартовых координат обобщенные импульсы р" совпадают с проекциями
обычного импульса отдельных частиц. Используя обобщенные импульсы, можно
переписать (2.308) в виде:
Л-& (2.311)
Применим теперь уравнения Лагранжа к исследованию некоторых физических
систем. Прежде всего заметим, что для системы без связей в качестве
обобщенных координат можно использовать декартовы координаты xt. В этом
случае лагранжиан имеет вид:
L = -J-2 т' W + $ + %)-U (*i> *..•••). (2.312)
i
так что
dL .dl 9L , dl dU
-т- = т;х;, = tniyi, -= -
oxi dyi oti dxi oxi
и уравнения (2.308) сводятся к ньютоновским уравнениям движения (1.302).
5^
В качестве следующего примера мы рассмотрим одну частицу в поле
сферически симметричного потенциала U (г). Здесь удобно выбрать в
качестве обобщенных координат сферические координаты, т. е. положить g,1
= r, ^2 = 6 и <7з = ф. Кинетическая энергия системы может быть
представлена в виде:
Т = 1 щ (/* _|_ Г2б" -{- г2 sin3 В ф2), (2.313)
так что лагранжиан запишется так:
Ujm (?2 + r262 + г* sin2 0 ф3) - U (г). (2.314)
Выпишем обобщенные импульсы для этого случая!
= § = (2.315)
Ре = ^- = тг2Й, (2.316)
ОТ
P<P = H = mrasinS0 ф- (2.317)
Из (2.315) видно, что рг представляет собой радиальный импульс,
т. е. компоненту импульса в направлении
радиус-вектора. Обобщенный импульс (2.317) представляет собой компоненту
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed