Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
молекулярных колебаний в некоторых простых молекулах, нормальных
колебаний одномерного кристалла, Рассмотрены двухатомные и линейные и
нелинейные трехатомные молекулы типа А2В. В заключение обсуждается
простой случай колебаний около равновесного (устойчивого) движения.
§ 3.1. Теория малых колебаний
Мы начнем этот параграф с того, что займемся состояниями равновесия
механических систем, т. е. систем, движение которых может быть описано
уравнениями Лагранжа:
4т4г~ -4г- = °- (ЗЛ01)
dt dqk dqu v >
Мы снова предположим, что потенциальная энергия U не зависит от
обобщенных скоростей, так что лагранжиан L можно представить в виде:
М<7ь <Ы = П<7ь qk)~U(qk), (3.102)
где Т - кинетическая энергия системы.
Состояния равновесия системы определяются как такие состояния,
описываемые набором обобщенных координат q'k, для которых <7^ = 0 при q!t
= qk', причем и все высшие производные по времени от qh также обращаются
в нуль:
Як - яТ и ^ = 0->-?* = 0, <7* = 0, "qk = 0, ... (3.103)
Это означает, что если все частицы, составляющие систему, находятся в
покое в положениях, соответствующих
8* 67
обобщенным координатам qk = q'k, то они и всегда останутся в покое, т. е.
условие qR = q'k вместе с <7* == О при t = tn должно иметь следствием
соблюдение равенств qk = qii в любой последующий момент времени.
В предыдущей главе мы установили (см. (2.302)), что кинетическая энергия
системы может быть записана в виде:
(ЗЛ04)
k, I
причем aili( = a/il) в общем случае зависят от qh. Если воспользоваться
равенством (3.104) для кинетической энергии Т, то из (3.101) можно
получить:
У aiiiQ i~\- У,
да
Id
Li dq" I, m
qiq,
_ 1 \ даш . • I dU_
1 * Li dq" qiQm+ dq"
I, m
: 0. (3.105)
Если ввести так называемые символы Кристоффеля
j hri I It
}•
+ ¦
. dqm 1 dqi to (3.105) можно переписать в виде:
dcik
, alilcIl +
"T1 17m
где мы ввели обобщенны? силы F$\ rk -
2(c)w**
k,
dU
(3.106)
(3.107)
(3.108)
Симполы Кристоффеля играют важную роль в римановой геометрии. С их
значением дтя формулировки классической механики можно познакомиться в
книгах: А. Д. Мак-Коннел, Введение в тензорный анализ, Физматгиз, 1963;
И. Сокольников, Тензорный анализ, "Наука", Главная редакция физ.-мат.
литературы, 1971.
Из условий (3.103), определяющих состояние равновесия, и равенства
(3.105) вытекает, что необходимыми условиями равновесия являются
равенства
dU = 0, &=1..........s при qi = qT (/= 1...............s).
(3.109)
Это означает, что в положении равновесия потенциальная функция имеет
экстремум, или, точнее, принимает
68
дчь
стационарное значение. Существует, однако, несколько возможностей,
некоторые из которых для случая s - 2 иллюстрируются на рис. 11. Рис. 11,
а соответствует абсолютному минимуму, и состояние равновесия устойчивое.
Рис. 11,з соответствует абсолютному максимуму, а
Рис. 11. Возможные формы поверхности уровня двумерной потенциальной
энергии как функции обобщенных координат для различных состояний
равновесия: а) устойчивое равновесие, 6) неустойчивое равновесие, в)
безразличное равновесие, г) неустойчивое равновесие.
рис. 11,6 - седловой точке; в обоих последних случаях равновесие
неустойчивое. Наконец, рис. 11, в соответствует безразличному равновесию.
Теперь мы займемся малыми отклонениями от поло-жения равновесия. Для
упрощения формул мы перенесем начало координат в (^-пространстве так,
чтобы для рассматриваемого состояния равновесия (не следует забывать, что
может быть вовсе не один набор значений координат, удовлетворяющий
условиям равновесия) все q't обратились в нуль. Это значит, что, когда мы
будем рассматривать малые отклонения от положения равно-
69
весия, значения qk будут малы, н мы можем воспользоваться разложением в
ряд по этим малым величинам, ограничившись лишь несколькими первыми
членами. Именно таким образом можно записать приближенные значения
кинетической и потенциальной энергий:
и (,) - и (0) + v (|L)g " +12 {^1 <м,+....
к к, I
(3.110)
T(q, 4) = y2 +2 + - ^ (ЗЛИ)
k, IL т
Воспользовавшись (3.109), полагая Щ0) = 0 и опуская все члены в U
третьего порядка и выше по q и все члены первого порядка и выше в Т, мы
получим следующее выражение для лагранжиана:
L = Т - U = ~ ^сьАкЬ - ~2 2 bki4k<]i, (3.112)
к,I к, I
где
Cki - (aki)Q - cUl, - -)0 - Ь1к. (3.113)
Уравнения Лагранжа (3.101) приводят к основным уравнениям теории малых
колебаний:
= k=\........s. (3.114)
i i
Для решения этих уравнений мы будем искать собственные колебания системы,
т. е. такие решения, при которых все qk колеблются с одной и той же
частотой. Это эквивалентно (как мы сейчас убедимся) отысканию другой
совокупности координат, Qm, таких, что в этих координатах уравнения
движения приобретают простой вид:
Qm + KiQm^ о, т= 1..............s. (3.115)
Величины Qm получаются из qk линейным преобразованием, откуда следует,
что если собственные колебания qk удовлетворяют равенствам
Як = Акеш, (3.116)
где частота со одинакова для всех q,n то амплитуды А/, должны
