Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
полного момента импульса относительно полярной оси. Если сферические
координаты г, е, ф связаны с декартовыми координатами обычными формулами
х= rsinS собф, г/= г sin В sin ф, *-=rcos0, (2.318)
то рф равно г-компоненте момента импульса М, определяемого
согласно (1.209), в чем легко убедиться простой
подстановкой переменных (2.318).
Квадрат абсолютной величины момента импульса М~ может быть выражен через
рв и
М'-^+вг <2'319>
Из уравнений Лагранжа мы получим:
/>ф = 0, (2.320)
A>=J. (2.321)
63
Последнее уравнение дает!
fc-гМвч- <2-322>
Сопоставляя (2.319), (2.320) и (2.322), мы обнаруживаем, что М="0 или что
М2 = const. Если мы выберем полярную ось таким образом, чтобы она в
какой-то точке пересекала траекторию частицы, то увидим из (2.317), что в
точке пересечения, где 8 = 0, а г и ф конечны, обобщенный импульс рф
обращается в нуль. А так как согласно (2.320) (tm)0, то рф всегда равно
нулю. Из (2.319) выте-
кает тогда, что ре в этом случае будет полным моментом импульса.
Соотношение (2.316) тогда совпадает с (1.214) и последнее уравнение
движения
Рг-%; (2.323)
сведется к (1.227), если принять во внимание (2.314),
(2.315) и Рф = 0.
Вернемся теперь еще раз к машине Атвуда (рис. 8). Вместо двух координат
гх и г2 наряду со связью (2.218) мы введем одну обобщенную координату
q(=zl), так что гй - 1 - д. Потенциальная энергия дается уравнением
?/ = - migq - nitg (I- q), (2.324)
тогда как кинетическую энергию системы можно предста-ить так:
Г--' (mi + (tm)2)4a. (2.325)
Уравнения Лагранжа (2.308) дают:
(mi. -f щ) <] " (ли - тг) g (2.326)
в соответствии с (2.221). Мы не получили, конечно, выражения для
натяжения нити, но можем его вычислить по силе, действующей на одну из
масс, входящих в систему.
Наш последний пример -это так называемый маятник Томсона -Тэта (рис. 9),
который состоит из двух равных
Рис. 9. Маятник Томсона--Тэта. Невесомый стержень АВ может свободно
вращаться в вертикальной плоскости, проходя через CD, a CD может свободно
поворачиваться в горизонтальной плоскости CDE.
64
масс m, закрепленных на концах невесомого стержня АВ, длина которого
равна 2Ь. Середина этого стержня С прикреплена к концу невесомого стержня
CD, длина которого равна а. Стержень CD может свободно двигаться в
горизонтальной плоскости, а стержень АВ может свободно вращаться в
вертикальной плоскости, проходя через прямую CD. Система имеет две
степени свободы, и в качестве обобщенных координат мы выберем угол ср
между CD и заданным направлением DE в фиксированной горизонтальной
плоскости и угол 0 между АВ и CD (см. рис. 9). Поскольку обе массы равны
и центр инерции фиксирован d горизонтальной плоскости, потенциальная
энергия в гравитационном поле (которое предполагается однородным)
сводится к константе, которую можно считать равной нулю. Кинетическая
энергия системы может быть получена из выражения
Т = 2 m (*i + yi + 21 + х% + ij\ + zi), (2.327)
если воспользоваться следующими выражениями для хи у 1, Zi, Х2, у2, *2:
ху - a cos ф + b cos 0 cos ф, х2 = a cos ф - b cos 0 cos ф, гд = а sin ф
+ 6 cos 0 sin ф, г/2 = a sin ф - b cos 0 sin ф, (2.328) zt - b sin 0,
z2 = - ?>sin 0.
Окончательно кинетическая энергия, а следовательно, и лагранжиан
запишутся в виде:
L = T = y m [ЬЧ2 + (a -f b cos 0)2 ф2] +
+ ^ m [6202 + (а - b cos 0)2 ф2] =
= mb2&2 + m (a2+ b2 cos2 (2.329) С помощью (2.308) мы находим уравнения
движения:
^||- = Ар = 0 или рф = const, (2.330)
2mb2$ -\-2mb2 cos 0 sin 0 ф2 = 0. (2.331)
Из (2.330), (2.331) и выражения для рч,
Ру - 2m (a2 -f Ь'2 cos2 0) ф, (2.332)
65
мы находим дифференциальное уравнение
о* sin 0 cos 0
(r) 4т2 (а2 + Ь2 cos2 8)a = (2.333)
из которого функция 0 может быть найдена двойной квадратурой. Мы еще
вернемся к (2.333) в следующем параграфе.
§ 2.4. Циклические координаты
Нередко бывает так, что какие-то координаты сами в лагранжиан не входят,
а входят лишь их производные по времени. В предшествующих параграфах мы
встречались с такими случаями; например, в лагранжиан (2.314) не входил
полярный угол ср, а в лагранжиан (2.329) не входил угол ср, имеющий,
правда, иной смысл. Такие координаты принято называть циклическими (или
реже игнорируемыми). Появление первого термина связано с тем, что очень
часто такими координатами оказываются углы (как это и было в двух
приведенных примерах); что касается второго термина, то его происхождение
станет ясным чуть позже.
Пусть q§ - игнорируемая координата. Тогда из (2.308) и (2.310) мы найдем,
что
(2'40|)
или же
ps = const. (2.402)
Равенство (2.402) можно использовать для того, чтобы исключить
(игнорировать) степень свободы, связанную с обобщенной координатой qs.
Делается это следующим образом. Равенство (2.402) определяет связь между
qu Яъ •••" Qs-1, qu Яг, •••> Qs-1 и постоянной величиной ps. Это
равенство можно рассматривать как уравнение и разрешить его относительно
qs, выразив эту величину через остальные переменные:
= Qs (Qu Qi> •••> Qs-u Qu •••* Qs-1! Ps)i (2.403)
