Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
L = y mi&2 + у т2х2 + g тг (/ - *)2ф* + mxgx. (2.421)
Координата ср - игнорируемая, и мы можем ее проигнорировать, составив
функцию Рауса:
R = L - РфФ = у (mi + Щ) X2 ~ + т^х- (2-422)
Исходная система свелась к одномерной, вместе с тем появился
"псевдопотенциал" U'i
(2.423)
§ 2.5. Неголономные связи. Потенциал,
зависящий от скорости
Хотя у нас нет намерения входить в подробности, касающиеся неголономных
связей, есть один интересный класс неголономных связей, на котором нам
хочется хотя бы коротко остановиться. Речь идет о неинтегрируемых связях.
В качестве примера физической системы, где встречаются такие связи, мы
можем взять обруч (см. задачу № 4 к этой главе). Если через хну
обозначить координаты точки, в которой обруч касается земли, а через 6 -
угол, показывающий, на сколько повернулся обруч, условие чистого качения
имеет вид!
6л'2 + 6(/2 = Я266а, где через R обозначен радиус обруча,
60
Рассмотрим систему, в которой кроме р связей вида (2.113) действуют еще г
неинтегрируемых связей типа
Sai"6<7* = 0, /= 1....л. (2.501)
В соотношениях (2.501) уже введены обобщенные координаты qk, т. е. мы уже
приняли во внимание наличие голономных связей.
Вариационный принцип (2.307) остается справедливым, так что мы можем
написать
но теперь уже 6qk больше не независимы, поскольку в любой момент времени
они должны удовлетворять соотношениям (2.501). Выход из этого затруднения
открывается снова в методе множителей Лагранжа, из которого в данном
случае вытекает равенство
Теперь уже можно рассматривать &qk в качестве независимых переменных (ср.
рассуждения в § 2.2), и тогда мы получаем уравнения движения
в форме, которая является промежуточной между уравнениями Лагранжа
первого и второго рода. Множители Kj, как и раньше, связаны с силами,
действующими со стороны связей, а сопоставляя (2.504) с (2.501), можно
найти величины qk и Kj в зависимости от времени. Пример такого
промежуточного случая можно найти в задаче 4, упомянутой выше (см. стр.
66).
До сих пор всюду предполагалось, что потенциальная энергия U зависит
только от qk. Однако вывод уравнений
(2.308) не изменится и в том случае, если U зависит не тояько от <7*,
но и от 4*- В этом случае уравнения (2.308)
и
(2.502а)
вместе с условиями
6<7* = 0 при t---=tx и при t = i2, (2.5026)
Г
(2.504)
61
примут ВИД!
Tt^ - ~1г~ + 7Г- = 0- (2.505)
dt д4к dt dqk dqk т % >
Очень важным примером такого случая является движение заряженной точечной
частицы в электромагнитном поле *). Через Е мы обозначим напряженность
электрического поля, а через В - магнитную индукцию; эти величины связаны
со скалярным и векторным потенциалами формулами:
?= -VФ-^, fi = [V, А]. (2.506)
Уравнения движения могут быть получены из (2.505), если принять за
потенциальную энергию выражение
U = еу-е(А-х). (2.507)
Действительно, используя формулу
^ = ^ + (*.У)Л, (2.508)
мы получим из (2.505):
дА
тх = -еЧу - е-щ-{-е[х, [V, A\] = FL, (2.509)
где через FL обозначена сила Лоренца:
FL = e{E + [x, в]}. (2.510)
§ 2.6. Законы сохранения
Тот факт, что любой обобщенный импульс, соответствующий игнорируемой
координате, является интегралом движения [см. (2.402)], подсказывает нам
общую теорему
о том, что если лагранжиан инвариантен относительно некоторой группы
преобразований, включающей в себя бесконечно малые преобразования, то
отсюда следует наличие какого-то закона сохранения **). В этом пара-
*) Формулы записаны в системе СИ.
**) Это утверждение связано с общей теоремой, принадлежащей Э. Нетер:
любому непрерывному обратимому преобразованию координат, при котором
функция действия S (см. гл. С) данной гамильтоновой системы остается
инвариантной, соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа этой
системы. Функция действия S = j L ¦ dt отражает, естественно,
инвариантные свойства лагранжиана. См.
Э. Нетер, Инвариантные вариационные задачи, в сб. "Вариационные
принципы механики", Физыатгиз, 1959. ^ Прим.-персе-.
62
графе мы получим три закона сохранения, с помощью таких соображений.
Рассмотрим преобразование
Xi - Xi + 8Xi, или <7*-- <7* + бqk. (2.601)
Эти преобразования изменяют лагранжиан, причем его изменение бL можно
описать формулами:
Ы = У. (V,-L- 8xi) или = бqh. (2.602)
бш jfb! ('Qk
i k
Левая формула удобна в том случае, когда система описывается декартовыми
координатами, правая -когда применяются обобщенные координаты qk. Если
группа преобразований, о которой шла речь в начале параграфа, может быть
описана через изменение одной подходящим образом выбранной обобщенной
координаты, скажем qr, то для любого произвольного изменения qn т. е. для
любого бqr, лагранжиан не должен изменяться, т. е. 6L = 0, и
следовательно,
~=0, (2.603)
откуда вытекает, что
pr = const. (2.604)
В § 2.4 мы убедились в том, что для систем, потенциал которых зависит
только от относительного расстояния между частицами, импульс,
соответствующий координатам центра масс, является интегралом движения.
Соответствующими обобщенными импульсами рг будут, таким образом, три
