Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Можно подправить дело, воспользовавшись несколько иным потенциалом:
?/-•-" \(х[ - х'у- + (л-J - x'f\ + ~ Р Ш - у'? +
+ (г[ - г'Г- 4- (A - tj'f + & - z'f - ] (y[ - ytf -
- 1 & - ztf] + у Y M ~ xd*- (3.322)
В этом случае только двукратно вырожденное собственное значение,
соответствующее рис. 17, б, обращается в нуль, и мы действительно
остаемся с четырьмя собственными значениями, отличными от нуля.
Секуляриое уравнение оказывается достаточно простым, и нормальные
координаты могут быть в конце концов найдены. Но все это мы оставляем в
качестве упражнения читателю.
§ 3.4. Нормальные колебания одномерного кристалла
В качестве последнего примера малых колебаний около положения равновесия
мы рассмотрим случай одномерного кристалла. Одномерный кристалл
представляет собой систему точечных масс, которые по предположению
находятся в равновесии, если все расстояния между ними равны. Мы начнем с
того случая, когда массы всех частиц, образующих кристалл, одинаковы и
равны М, а затем перейдем к случаю, когда кристалл образован
последовательно чередующимися частицами с разными массами М и т. Мы не
можем здесь останавливаться на всех аспектах этой задачи, имеющей
колоссальное значение для установления термодинамических свойств твердого
тела, н вынуждены отослать читателя к специальной литературе.
Чтобы избежать рассмотрения явлений на границе кристалла, мы будем
предполагать, что "кристалл" имеет форму окружности, так что N-я точечная
масса граничит с первой. Это предположение делает нашу вадачу екви-
83
валентной задаче о бесконечном кристалле, на который наложены
периодические граничные условия:
Qj+n - QjX (3.401)
через qj здесь обозначено смещение /-й точечной массы от положения
равновесия.
Если все массы одинаковы, кинетическая энергия
системы запишется в виде:
T^^M^q), (3.402)
/
и если предположить к тому же, что силы, действующие между отдельными
массами, гармонические и действуют только между ближайшими соседями, то
потенциальная энергия запишется равенством
/7= 2 аУ(?/-9м-1)2. (3-403)
/
Мы видим, что потенциальная энергия квадратична
по так что можно применить теорию малых колебаний, развитую в первом
параграфе этой главы. Можно воспользоваться известными методами из теории
определителей для определения собственных значений и, следовательно,
нормальных координат. Однако более удобно
воспользоваться тем обстоятельством, что следует ожидать нормальные
колебания с длинами волн, начиная от периода "решетки" до удвоенной длины
кристалла. Исходя из этих соображений, мы введем совокупность координат,
определенных следующим образом:
= (3-404)
/
Еслл воспользоваться равенствО;М
N
? е-*' и - "> = №/т, (3.405)
Я=1
мы можем разрешить (3.404) относительно qf и найдем: = (3-406)
к
69
Подставляя эти выражения для qj в формулы, определяющие Т и U, и
используя (3.405), получим;
Т =42^-*' (3-407)
k
^=y^2Q''Q-ftSin2ir- (3-408)
ь
Заметим, что, хотя мы не привели полностью Т и U к виду (3.138) и
(3.139), уравнения движения имеют уже вид (3.115); уравнения движения для
Q* следуют из уравнений Лагранжа для и наоборот. Собственные частоты
определяются равенствами
о ( " \,/2 я I ft | , ЛГ1>
(о*- \ М / N ' О-'*0-)
Обратим внимание на то, что Q* - комплексные величины и что, таким
образом, каждой Qft соответствуют дье степени свободы. Совокупность Q*
отнюдь не переопределяет систему, поскольку соблюдаются равенства
Q,t = Qlft. (3.410)
Из (3.404) видно также, что Q,, удовлетворяют уравнению, тождественному
уравнению (3.401) для qj, а именно:
Qft = Qft+л', (3.411)
и мы можем, следовательно, ограничить k интервалом (мы будем считать N
четным числом)
O^k^UN (3.412)
и получим 1!2N +1 независимых Qh, соответствующих N независимым
действительным координатам [обратите внимание, что из (3.410) и (3.411)
вытекает, что Q0 и QN/2 действительны], за которые мы можем принять
действительные и мнимые части Qk:
Q* = /?* + "S*. (3-413)
Если выразить кинетическую и потенциальную энергию через R,, и Sk, мы
получим:
г==у2^1+^' u-j2aSk{R%+s%); (3-414)
к к
теперь мы уже получили суммы только квадратов величин
90
Выясним теперь физический смысл нормальных колебаний. Для этого в
выражении (3.406) мы положим все Qn, за исключением одной, равными нулю.
Отличную от нуля Qk положим равной A exp {mkt). Тогда мы получим:
<7., (0 = (МАТ 1/2 Aexp2m[vkt-(kj/N)], 2jiva = (o*. (3.415)
Из (3.415) видно, что нормальные колебания представляют собой бегущие
волны, волновыми числами которых будут k/aN, где через а обозначен период
решетки.
Из (3.409), прежде всего, вытекает, что одна собственная частота, ы0,
обращается в нуль. Эта "частота" соответствует трансляции всего
"кристалла" как целого. Во-вторых, мы видим, что для малых k можно
приближенно написать: <оЛ = 2я&*''"/ММ'/>; (3.416)
это выражение совпадает со спектром звуковых волн (см. гл. 8). Наконец,
наибольшая собственная частота шл-/г соответствует длине волны, равной
2а, т. е. тому случаю, когда две соседние точечные массы всегда движутся
