Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
преобразования
?HV 4kv ev^H> (3.4.41)
где вр, - произвольный вектор, удовлетворяющий условию e-k = 0, которое
сохраняет равенство (3.4.40). Такое изменение тензора поляризации
соответствует введению продольно поляризованного гравитона, который не
участвует в физических процессах (как объясняется в разд. 7.2.2)
вследствие калибровочной инвариантности на массовой поверхности.
В случае дилатона можно предположить, что ^ ~ T)nv, но тогда равенство
(3.4.40) не будет выполняться. Эту трудность можно обойти, взяв тензор
поляризации в виде
== "Hhv kyjiy, (3.4.42)
где kц - произвольный вектор, удовлетворяющий условиям
k ¦ k = 0 и k-k = \. Последние два слагаемых в
(3.4.42) со*
ответствуют продольным составляющим, которые также не участвуют в
физических процессах. За исключением случая № = 0,. условия, которым
подчиняются поля, описывающие гравитон и дилатон, различны, поэтому
различными являются соответствующие им вершинные операторы. Однако если
равенство
(3.4.33) выполняется, то мы имеем как раз случай &^ = 0, в котором
сооотношения (3.4.40) и (3.4.42) совместны. Поэтому мы не располагаем
достаточным количеством вершинных операторов, чтобы проверить независимо
уравнения движения для всех компонент гравитационного поля и поля
дилатона. В результате мы по существу проверили (3.4,33) для головастиков
всех безмассовых полей, за исключением одного. Недавно с помощыо
тождества Бьянки .было показано, чтю одно "отсутствующее" уравнение
эквивалентно требованию того, чтобы аномалия Вирасоро с имела правильное
значение. Сам факт появления одного
3.4. Струны в фоновых полях
205
из уравнений не совсем из тех же условий, из которых появились остальные,
довольно любопытен, и, возможно, его значение в полном объеме пока еще не
выяснено
3.4.4. Поправки к общей теории относительности, вытекающие из теории
струн
Теперь совершенно ясно, по крайней мере теоретически, как вывести
поправки к общей теории относительности, вытекающие из теории струн.
Уравнение Эйнштейна ^^ = 0 соответствует обращению в нуль однопетлевой
бета-функции (3.4.27), а поправки к нему можно найти, вычисляя поправки к
однопетлевой бета-функции. С учетом одно- и двухпетлевого вклада {4-
функция имеет вид
Pnv UP) = - i (4v + 4 ¦ (3.4.43)
Вычисление второго члена в (3.4.43) является весьма нетривиальной
задачей. Однако должно быть очевидным, что так как константы
взаимодействия в (3.4.8) пропорциональны (в нормальных римановых
координатах) тензору Римана и его производным, то n-петлевая бета-функция
дается выражением, содержащим члены приблизительно того вида, который
приведен в формуле (3.4.43).
Таким образом, второй член является "струнной" поправкой к общей теории
относительности, которая обращается в нуль при а'->-0, или, что
эквивалентно, когда радиус многообразия М становится очень большим по
сравнению с корнем квадратным из а'.
3.4.5. Включение других мод
Перейдем теперь к более систематическому изучению бозонной струны в
фоновом поле, включая все безмассовые состояния замкнутой струны (а не
только гравитон) в качестве части фона. Соответствующими полями замкнутой
струны являются антисимметрический тензор fi(iv(-^p), поле дилатона
Ф(Хр), а также гравитационное поле gnv(-^p)-
Запишем наиболее общее действие для поля ^(сг, т), которое инвариантно
относительно репараметризации мировой поверхности струны, а также
перенормируемо в соответствии с правилом счета степеней; второе условие
означает, что в каждом члене действия должны быть в точности две
производные, взятые на мировой поверхности. Одним из возможных членов
является уже изученное нами действие
= \ d2a л/А АордДЧГ^ (**)• (3-4.44)
206
3. Современное ковариантное квантование
Оно включает эффекты 26-мерной гравитации. Второй член
" -ШГ J d2(tm)a*daX%ГВ^ (Хр), (3.4.45)
в котором используется антисимметричный тензор ') е"р мировой
поверхности, позволяет учесть эффекты антисимметричного тензорного поля
В^ в о-моделях. Множитель а', который обычно берется равным 1/2,
необходим для того, чтобы сделать действия (3.4.44) и (3.4.45)
безразмерными, так как Х& имеет размерность длины. Заметим, что
подынтегральное выражение в (3.4.45) при калибровочных преобразованиях
6BVLV = d]XAv - dvAlt. (3.4.46)
изменяется на полную производную. Мы критически проанализируем этот факт
в глобальном контексте в гл. 14. Нам нужно еще найти способ включить в о-
модель поле дилатона Ф. На первый взгляд нет явного выражения, не
связанного с (3.4.44), которым можно было бы воспользоваться для этой
цели. Само построение дилатонного действия оказывается довольно
необычным. Скаляр Риччи содержит две производные от метрики мировой
поверхности h, поэтому на первый взгляд кажется, что двумерное действие
Эйнштейна - Гильберта
x=±-^d2a^hR[2) (3.4.47)
является переномируемым и репараметризационно инвариантным выражением,
которое можно было бы рассматривать в теории на мировой поверхности.
Однако это иллюзия, так как
