Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
еф, учитывая при этом сокращение множителей е полюсами '). Собирая вместе
все вклады, зависящие от ф, мы приходим к эффективному действию, которое
может быть записано в этом порядке (и при D = 26) в виде
S = (Г) djFd'X?, (3.4.25)
где Х** дается формулой (3.4.15). Таким образом, в этом
порядке действие (3.4.2) приводит к вейль-инвариантной (незави-
симой от ф) квантовой теории, если и только если
ЯцЛ*Р)=0. (3.4.26)
*) Далее для уничтожения любых гравитационных аномалий, которые
появляются на однопетлевом уровне, необходимо добавить локальные
контрчлены. Такие аномалии вычисляются в значительной степени подобно
тому,
как это делалось в разд. 3.2.3, рассмотрением однопетлевых поправок к
<AM,vApa). В результате получаются члены, независящие от фонового поля,
которые в 26-мерии уничтожаются за счет вклада от духов.
198
3. Современное ковариантное квантование
Перенормировка метрики в (3.4.24) означает, что существует однопетлевой
бета-функционал, который задается формулой
(Vv UP) = - i nv UP). (3.4.27)
Понятие бета-функционала может показаться непривычным, но в
действительности в нем нет ничего странного. Известно, что в теории с п
константами взаимодействия имеется п бета-функций, по одной на каждое
взаимодействие. Эти бета-функции имеют те же индексы, которые
используются для обозначения взаимодействий. Аналогично, в теории, в
которой имеется функционал взаимодействия gnv(^p), являющийся непрерывным
бесконечным множеством взаимодействий, будет существовать бета-функционал
Phv(-Xp), зависящий от того же числа степеней свободы, которые входят во
взаимодействие. Из (3.4.27) условием обращения в нуль однопетлевого бета-
функционала или, что то же самое, условием зануления независящих от <р
однопетлевых контрчленов ((3.4.23) и (3.4.24)) в эффективном действии
является равенство ^M.v(-Xp) = 0. Как уже ранее отмечалось, к такому же
условию приводит требование вейлевской инвариантности (независимости от
<р) эффективного действия. Эти два утверждения связаны, если учесть тот
факт, что р-функция является следом тензора энергии-импульса.
Эта взаимосвязь между вейлевской инвариантностью и обращением в нуль
бета-функции имеет место в значительно более общей ситуации, хотя наши
вычисления на однопетлевом уровне, возможно, и сделали ее вполне
очевидной. Более систематическое исследование такой взаимосвязи,
пригодное для вычислений на многопетлевом уровне, предполагало бы
использование метода фонового поля, обобщенного на случай, когда Jfo
является непостоянным решением общего вида классических полевых уравнений
*).
3.4.3. Конформная инвариантность и уравнения движения
Найденные нами уравнения, а именно R цл? -¦ 0, являются из* вестными
уравнениями Эйнштейна в вакууме. Случайно ли это, что уравнения Эйнштейна
возникли таким образом?
При изучении физической теории единственными уравнениями, которые мы
имеем право налагать, являются уравнения движения - или, на квантовом
уровне, уравнения для миними-
*) Более полное изложение этого вопроса дано в статьях Фрадкина и
Цейтлина, Приведенных в библиографии или, например, в работе Hull, С. М.
and Townsend, Р. К. (1986), ''Finiteness and conformal invariance in
nonlinear sigma models", Nucl. Phys. B274, 349.
3.4. Струны в фоновых полях
199
зации квантового эффективного потенциала. С другой стороны, для того
чтобы действие (3.4.2) имело смысл в струнной теории, требуется
вейлевская инвариантность или обращение в нуль бета-функции. Условие
обращения в нуль бета-функции совершенно необходимо в струнной теории (на
классическом уровне, как мы вскоре увидим), и, чтобы иметь разумную
физическую интерпретацию, оно должно совпадать с уравнениями движения.
Поэтому позднее мы должны облегченно вздохнуть, обнаружив, что условие
(3.4.26) обращения в нуль низшего порядка р-функ-ции разумно
интерпретировать как длинноволновое приближение уравнения движения
гравитационного поля. Уравнение (3.4.26) должно иметь такую
интерпретацию, чтобы струнная теория имела смысл. Бета-функция (или
результат нарушения вейлевской инвариантности), которую мы вычислили,
зависит только от поведения на малых расстояниях квантовой теории поля с
действием (3.4.2). Такое же поведение на малых расстояниях имело бы место
на римановой поверхности любой топологии. Когда действие (3.4.2) обладает
вейлевской инвариантностью, мы можем вычислить функциональный интеграл с
этим действием, взятым на римановой сфере (что соответствует древесным
диаграммам или классическому приближению в теории струн) и на
поверхностях более высокого рода (что соответствует квантовым поправкам).
Это заставляет предполагать, что наличие вейлевской инвариантности у
действия (3.4.2) следует интерпретировать как условие нахождения
классического решения теории струн (вейль-инвариантный функциональный
интеграл на римановой поверхности), около которого мы потом осуществляем
разложение, чтобы вычислить квантовые поправки.
Попытаемся теперь привести более прямые аргументы в пользу того, что
