Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
(3.4.16)
которое нужно дополнить подходящим преобразованием метрического тензора
пространства-времени. Сделав при необ-
ходимости такое переопределение полевых переменных, можно предположить,
что координаты^ на пространственно-временном многообразии М являются
локально инерциальными координатами в точке В таких координатах метрика
g,j.v(XP) эквивалентна метрике Минковского в точке Л'|1 = Л'о и
отличается
Рис. 3.7. Однопетлевой контрчлен в нелинейной сигма-модели появляется из
диаграммы, изображенной на рис. а). При проверке вейлевской
инвариантности в описанном формализме мы встречаемся еще и с диаграммой,
изображеной на рис. Ь), где крестик обозначает вставку кинетического
члена
с коэффициентом е<р.
от нее только в порядке (л:^)2. Члены более высокого порядка нельзя за
счет переопределения поля обратить в нуль, но их можно упростить, выбирая
координаты, называемые нормальными римановыми координатами. В этих
координатах имеет место разложение
guv UP) = TVv-| *,*vh W?) + О (U")4),
(3.4.17)
где (Xq) - тензор Римана многообразия M в точке Хо.
Если так выбрать полевые переменные и воспользоваться разложением еЕЧ> =
1 + е<р + ..., действие (3.4.14) принимает вид
5 = - J d2+ea [(d^dV) (1 + еф) Т1ц" -
- у Uo) xkx*daxW (1 + вф) + О (**)]. (3.4.18)
Разложение по степеням л/а' /г эквивалентно разложению по степеням х в
(3.4.18), так как, например, тензор кривизны многообразия М является
величиной порядка 1/г2. Таким образом,
196
3. Современное ковариантное квантование
контрчлен низшего порядка в точности получается спариванием двух х**,
которое появляется в четвертом члене в (3.4.16), соответствующая
диаграмма Фейнмана схематически изображена на рис. 3.7, а. В размерной
регуляризации полюсы возникают только из-за логарифмически расходящихся
интегралов. Спаривание (х^х*} приводит к логарифмически расходящемуся
интегралу, тогда как спаривание (dx^dxv) приводит к квадратично
раходящемуся интегралу, который при размерной регуляризации
отбрасывается1). Логарифмическая расходимость в 2 + е измерениях имеет
вид
Sj2+efc "ik-(o-o') "XX
-----"S'- (3'419)
Поэтому в однопетлевом эффективном действии, выведенном в теории,
определяемой действием (3.4.18), имеются 8-полюсы. Точно так же, как
наличие этих полюсов приводит к отличным от нуля ^-функциям, оно может
привести к зависимости от ср, выживающей в пределе е->0. Например,
матричные элементы оператора
Г = * V/^v* Uo) (3.4.20)
имеют полюс при в-"-0. Этот полюс появляется из-за спаривания (х^х*},
определенного формулой (3.4.19), и при
W -* W' = Г - -^-d^dVR^ Uo). (3.4.21)
Здесь RpV (До) - тензор Риччи многообразия М, определенный через тензор
Римана: R^ = Подстановка (3.4.21) в (3.4.18)
приводит при е 0 к зависящему от ср члену
- 5 cfocp (a) d^dVR^ (хЦ). (3.4.22)
Однако кинетический член в (3.4.18) также приводит в пределе е-)-0 к
другим зависящим от ср слагаемым в однопетлевом эффективном действии.
Например, легко убедиться в том, что имеется и другой однопетлевой вклад
в эффективное действие, квадратичный по хкак это проиллюстрировано на
рис. 3.7, Ъ. Это слагаемое является конечным, зависящим от ср членом
благодаря полюсу 1/е, который в точности сокращается с множителем е в
зависящем от ср слагаемом, появившемся из-за кине-
*) Этот квадратично расходящийся интеграл имеет важное значение с
физической точки зрения, что можно обнаружить при тщательном рассмотрении
инфракрасных расходимостей. Его существование связано с возможностью
добавить к (3.4.8) члены оо взаимодействиями, не содержащими про-
изводные; эти взаимодействия соответствуют среднему значению тахионного
поля.
3.4. Струны в фоновых полях
197
тического члена. Зависимость от суммы двух слагаемых, которым
соответствуют диаграммы, изображенные на рис. 3.7, исчезает. Кроме того,
имеются еще диаграммы типа той, что изображена на рис. 3.7, Ь, с
величинами x^daxv и daxv-daxv на внешних линиях, пропорциональными <Э°Чр.
После интегрирования по частям (и отбрасывания членов, пропорциональных
величине дадах^, обращающейся в нуль за счет управлений движения
наинизшего порядка) эти члены приводят в неперенормирован-ном эффективном
действии к выражению, явно зависящему от ф и вновь пропорциональному
(3.4.22). С тем чтобы получить правильное выражение в пределе е->0, все
еще необходимо перенормировать е-полюсные члены, зависящие от ф и
входящие в эффективное действие. Такие полюсные члены возникают как из-за
однопетлевой диаграммы, изображенной на рис. 3.7, а, так и из-за
аналогичной ей однопетливой диаграммы, но с четырьмя внешними полями хК
Член второго типа дает вклад в перенормировку слагаемого в (3.4.18),
содержащего Я^х(Хо)- Важным свойством нелинейных сигма-моделей является
то, что эти две бесконечности можно включить в перенормировку волновой
функции
/^/ + -^^(1§)/ + 0(х2) (3.4.23)
и перенормировку пространственно-временной матрицы
(3.4.24)
Сделав эти подстановки в (3.4.18), мы восстановим члены с коэффициентом
