Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
V_6+ + = О, V+6_= 0. (3.3.11)
При обсуждении этих уравнений важно вспомнить закон преобразования
метрики при инфинитезимальной, репараметризации сг"сг" + ?"; как у а
(3.1.6), это
вЛ+ + =2у+Б+, .вЛ__=2уЛ_- (3.3.12)
Сравнивая (3.3.12) с (3.3.10), мы видим, что нулевая мода оператора с
является генератором преобразований "конформной симметрии"
репараметризационной инвариантности мировой поверхности струны, т. е.
преобразований, при которых метрика
386
3. Современное ковариантное квантование
изменяется только на кратную ей самой. Такое изменение, конечно, можно
включить в вейлевское изменение масштаба.
На уровне древесных диаграмм, когда мировая поверхность является сферой,
можно осуществить стереографическую проекцию на комплексную плоскость.
Если положить г = r + t'a, z = = r - io, то уравнение, скажем, для
функции с+ примет вид
-%Г = 0, (3.3.13)
так что с+ должна быть аналитически функций от z. По причинам, которые
были объяснены в конце разд. 1.4.3, для того чтобы преобразование
конформной симметрии, генерируемое оператором c+dz, имело полюс на
бесконечности, c+{z) должна возрастать на бесконечности не быстрее, чем
z2. Таким образом, существуют три допустимых решения уравнения (3.3.13),
а именно с+= 1, с+= z и с+ = г2. Как читатель легко может проверить,
соответствующие конформные преобразования c+(z)dz генерируют замкнутую
алгебру Ли. Эта алгебра Ли является алгеброй Ли трехпараметрической
группы SL(2, С).
Чтобы проанализировать нулевые моды духов для поверхностей более высокого
рода, заметим, что из уравнения для с+ в (3.3.10) следует
1 /?<2>
0 = V+V_c+ = т (V+V_ + V_V+) е+ + \-с+, (3.3.14)
где 7?(2) - скалярная кривизна поверхности. Умножая это уравнение на с+*
и интегрируя по мировой поверхности, получим
0 = J с+* (V+V- + V-V+ + Я(2)) с+ =
= - J (I V_c+ р + | V+c+ |2 - Я<2> | с+ |2). (3.3.15)
В случае тора с его плоской метрикой последний член в (3.3.15) выпадает.
Этот факт означает, что с+ является ковариантной постоянной и тем самым
(так как тор является плоским) настоящей постоянной. Итак, на поверхности
рода один имеется в точности одна нормируемая духовая нулевая мода, а
именно с+-1. Соответственно, единственной конформной симметрией тора
является симметрия относительно трансляций z-"-2+a с комплексным а. Можно
показать, что на поверхности 2 рода более чем один задается метрика со
всюду отрицательной скалярной кривизной, и, следовательно, из (3.3.15)
получаем, что в этом случае с+ = 0; на поверхности рода более чем один
нет
3.3. Глобальные свойства мировой поверхности струны 187
нормируемых духовых нулевых мод. Если обозначить число духовых нулевых
мод на поверхности рода g через Cg, то С0 = 3> Ci = 1, a Cg = 0 при g ^
2.
Обратимся теперь к антидуховым нулевым модам. Прежде чем обсуждать
значение уравнений (3.3.11), рассмотрим следующий вопрос. Мы уже
установили выше на качественном уровне, что на поверхности рода g при g
>- 0 имеются конформно неэквивалентные метрики. Дадим теперь этому факту
количественное обоснование. Выбрав фоновую метрику ha$, посмотрим, можно
ли произвольное возмущение б/гар метрики /г"р включить в репараметризацию
плюс вейлевское изменение масштаба. Если работать в локальной
координатной системе на мировой поверхности 2, в которой /г+ + = /г__ =
0, h+- - ef, то очевидно, что б/г+_ можно включить в вейлевское изменение
масштаба; весь вопрос в том, могут ли бh++ и б/г___быть включены в
диффеоморфизм. Так как б/г__________________является комплексным
сопряжением бh++, мы можем рассмотреть только второе возмущение. Анализ
уравнения (3.3.12) показывает, что бh+ + можно включить в диффеоморфизм,
если и только если имеется глобально определенная функция |+, такая, что
6/i+ + = 2V+|+. Если это не выполняется, то
S=$|6A+ + -2v+?+|2 (3.3.16)
2
отлично от нуля для всех |+. Если даже мы не можем выбрать ?+ так, чтобы
(3.3.16) обращалось в нуль, мы несомненно можем выбрать ?+ так, чтобы это
выражение было минимально. Вариационное уравнение, возникающее при
минимизации
(3.3.16) по ?+, имеет вид
V_(6/i+ + -2v+U = 0. (3.3.17)
Положив b+ + = bh+ + - 2V+I+, мы обнаруживаем, что уравнение (3.3.17)
превращается в уравнение (3.3.11) для антидуховых нулевых мод. В самом
деле, антидуховые нулевые моды находятся во взаимно однозначном
соответствии с теми бh++, для которых (3.3.16) не может обращаться в
нуль, или, другими словами, с деформациями метрики поверхности 2, которые
не могут быть включены в репараметризацию плюс вейлевское изменение
масштаба. Таким образом, число антидуховых нулевых мод на поверхности
рода g является числом, которое мы раньше обозначили через Ве, т. е. В0 =
0, fii = 1, Bg = 3g - 3 при g^2. Эти значения при ? = 0 и g,= l могут
быть проверены непосредственным рассмотрением уравнений (3.3.11).
Действитель-
188
3. Современное ковариантное квантование
но, для g = О, сделав стереографическую проекцию на плоскость, мы вместо
(3.3.11) получим уравнение
