Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
поверхности. Регуляризация Паули - Вилларса (вычитающая из петель вклад
от массивного регуляризирующего поля), несомненно, нарушает
3.4. Струны в фоновых полях
193
масштабную инвариантность. Выражение в (3.4.8) можно регу-ляризовать с
помощью размерной регуляризации, но она тоже нарушает масштабную
инвариантность, так как двумерная сигма-модель с действием (3.4.8)
масштабно инвариантна только в двумерии. Мы будем пользоваться размерной
регуляризацией.
Нарушение масштабной инвариантности в квантовой теории поля обычно
описывается в терминах р-функции. В зависимости от формализма,
используемого для определения p-функции, она возникает тем или иным
способом из ультрафиолетовых расходимостей фейнмановских диаграмм. В
струнной теории бета-функция и ультрафиолетовые расходимости в
действительности не являются основными предметами изучения; здесь главное
выяснить, будет ли действие (3.4.8) обладать вейлевской инвариантностью,
если его определить на искривленной мировой поверхности. Однако на самом
деле эти вопросы внутренне связаны друг с другом. Из вейлевской
инвариантности следует глобальная инвариантность, из которой в свою
очередь следует равенство нулю бета-функции, а следовательно, и
ультрафиолетовая конечность (с точностью до возможной перенормировки
волновой функции). Исторически уравнение Калана - Симан-зика впервые было
выведено при изучении тождества Уорда, связанного со следом тензора
энергии-импульса, или, другими словами, тождества Уоурда, связанного с
вейлевскими преобразованиями.
Так как вычисления, связанные с доказательством конечности и с наличием
вейлевской инвариантности, по существу эквивалентны, было бы излишним
проводить в однопетлевом приближении каждое из них. Поскольку в струнной
теории центральным вопросом является вопрос о вейлевской инвариантности,
а не о конечности, наш подход заключается в тщательном вычислении
возможного нарушения вейлевской инвариантности и выяснении при этом
вопроса о конечности лишь настолько, насколько это необходимо для
прослеживания связи между этими двумя вычислениями. (Наше обсуждение
вопроса о конечности будет неполным, так как мы не будем заниматься
перенормировкой волновой функции.) Удобнее будет сначала рассмотреть
вопрос о конечности, а затем о вейлевской инвариантности, но до этого
необходимо провести некоторую предварительную работу.
Сначала обсудим, что является параметром разложения в наших однопетлевых
вычислениях. Глядя на (3.4.8), мы видим, что в пределе очень малых а'
действие становится большим, а квантовые поправки - малыми.
Квантовомеханическая теория возмущений - это разложение по степеням а'.
Есть и другой эквивалентный способ прийти к такому выводу. Заметим, что
из
194
3. Современное ковариантное квантование
(3.4.8) следует, что если мы сделаем растяжку пространственно-
временной метрики
- (3.4.12)
то большие t будут соответствовать малым а'. Так как при (3.4.12) все
длины на многообразии М растянутся в t раз, то предел больших t
- это предел, в котором размер многообразия М в единицах
а становится очень большим. Безразмерным
параметром разложения является отношение -л/а'/г, где г -
характеристическая длина, или "радиус" многообразия М. Мы выберем
калибровку
Лар = 62ч>тlap- (3.4.13)
Для вычисления величин, возникающих из-за возможного нарушения вейлевской
симметрии, требуется регуляризация, которую можно ввести, работая в
пространстве 2 + е измерений. Вставляя (3.4.13) в (3.4.2), мы получаем
S = ~ -k S ^ ^eeMaX^aXvgllv (X9). (3.4.14)
Нам хотелось бы выяснить, исчезает ли зависимость от ф в пределе е->0. В
ходе выяснения мы увидим (по крайней мере на уровне однопетлевых
диаграмм), что это условие связано с требованием ультрафиолетовой
конечности теории. При исчерпывающем рассмотрении нам также следует
исследовать вопрос о возможном нарушении инвариантности относительно
двумерной репараметризации, появляющемся из-за аномалий двумерной
гравитации (как это было при изучении струи в плоском пространстве-
времени в разд. 3.2.3), так как регуляризация (3.4.13) не является
инвариантной относительно координатных преобразований.
При рассмотрении действия (3.4.8) как действия в квантовой теории поля,
где квантовым полем является Х^(а, т), первым шагом является выделение
его вакуумного среднего (назо) вем его Хо) и разложение квантового поля в
окрестности этого среднего. Итак,
Х*(а, т) = Хо + х* (а, т), (3.4.15)
где х^ - квантовая флуктуация. В приложениях более общего характера этого
"метода фонового поля" в качестве классического фонового поля Хо берется
любая функция переменных а и т, удовлетворяющая классическим полевым
уравнениям, а не решение в виде постоянной, которое мы здесь выбрали. Мы
разложим метрический тензор около значения Х^ = Хо. Это разложение в
общем виде будет выглядеть сложным и громоздким.
3.4. Струны в фоновых полях
195
Но мы заметим, что (3.4.8) является "геометрическим" выражением,
инвариантным относительно переопределения полевых переменных
