Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
3.6, с.
3.4. Струны в фоновых полях
3.4.1. Введение фоновой пространственно-временной метрики
До сих пор мы рассматривали распространение струны в плоском 26-мерном
пространстве Минковского. В этом случае действие имеет вид
5о = - k \ d2° V^a4*4riVv> (3.4.1)
где Аар - метрика мировой поверхности, которая считается динамической
переменной, а - пространственно-временная метрика Минковского. В
настоящем разделе мы хотим рассмотреть распространение струны не на
плоском пространстве Минковского, а на некотором более общем 26-мерном
многообразии М с метрическим тензором gp,v. Очевидным обобщением формулы
(3.4.1) будет формула, в которой метрика Минковского rinv заменена на
gp,v:
5 = - ^ J (fa УЛ ЛаР<Э gfly (Хр). (3.4.2)
Формула (3.4.2) является столь естественным обобщением формулы (3.4.1),
что вряд ли нуждается в специальном выводе, хотя поучительно рассмотреть
следующее. Предположим, что пространственно-временной метрикой является
g,vUp) = ^ + иЛхр), (3.4.3)
где f, рассматриваемая нами как возмущение, описывает отличие от
пространства Минковкого. Функциональный интеграл, соответствующий
(3.4.1), равен
Za=\DX"Dhafe~s\
(3.4.4)
3.4. Струны в фоновых полях
191
тогда как интеграл, соответствующий (3.4.2), имеет вид Z = \DX"Dh^e~S =
= J DX"Dhaze-s° (1 + ± J d2a УйЛ/йД, (Хр) +
+ Т [ш S <?а Ь°*даХ%Х%у (Zp)]2 +...)¦ (3.4.5)
Здесь
V = ~\d2a^h h^aX^X%v (Zp) (3.4.6)
является вершинным оператором, соответствующим испусканию гравитона с
волновой функцией fux(Xр). (До сих пор мы рассматривали гравитоны,
волновая функция которых была плоской волной f^v (jp) = 1,^егкК, однако
нет никаких причин не рассматривать волновую функцию, являющуюся
суперпозицией плоских волн общего вида.) Вставка оператора V в
функциональный интеграл Z0, выраженный формулой (3.4.4) и записанный в
пространстве Минковского, позволила бы описать взаимодействие струн с
внешним гравитоном с волновой функцией /ц-v. Вставка оператора ev
в (3.4.4) позволила бы описать
взаимодействие с когерентным состоянием гравитонов с этой
волновой функцией, что в точности соответствует распространению струны в
пространстве-времени с метрикой = "Hnv - f^v-Мы хотим рассмотреть теперь
некоторые простые свойства действия (3.4.2). Оба действия (3.4.1) и
(3.4.2) являются действиями двумерных квантовых теорий поля, но между
ними имеется существенная разница. Действие (3.4.1) становится действием
свободной теории поля в конформной калибровке
/lap = "Пар, (3.4.7)
а действие (3.4.2)-нет. В этой калибровке действие (3.4.2) сводится к
S' = ~nkr\d2odXdaXvg^ (*р). (3.4.8)
Это выражение является действием нетривиальной квантовополевой модели,
известной как нелинейная сигма-модель. Мы восстановили зависимость от а';
в предшествующих формулах был сделан обычный выбор: а' =1/2.
Конечно, как и в случае рассмотрения струны в плоском пространстве
Минковского, теорию с действием (3.4.8) нужно дополнить условиями
Вирасоро
Гар = 0, (3.4.9)
192
3. Современное ковариантное квантование
сопряженными к условию выбора калибровки (3.4.7). Формально действие
(3.4.8) инвариантно относительно изменений масштаба или конформных
отображений переменной а (что является отражением основной вейлевской
инвариантности в действии (3.4.2)), так что на классическом уровне мы
имеем
7'+_ = 0, (3.4.10)
так же как это было в случае струны, распространяющейся в плоском
пространстве. С учетом уравнения (3.4.10) у нас остаются только два
набора условий Вирасоро
Т+ + = Т___= 0, (3.4.11)
и их (в критической размерности) достаточно, чтобы устранить
моды с отрицательной нормой, но по-прежнему рассматривать
содержательную теорию. Если в уравнении (3.4.10), полученном в
классической теории, при квантовании появляется аномалия, то к (3.4.11)
нужно добавить дополнительное условие Вирасоро Т+- = 0. Это условие, не
имеющее своего аналога в пределе плоского пространства, конечно, привело
бы к некоторым рассогласованностям.
Даже в случае плоского пространства Минковского (g^v - =: 'Пцл')) где
действие (3.4.8) сводится к действию свободной теории поля, было
обнаружено, что в 7 + _ может быть аномалия, если мировая поверхность
струны искривлена. Мы нашли, что эта аномалия, возникающая при Оф 26,
имеет вид Т+_ ~ где R(2) - скалярная кривизна мировой поверхности. Это
относительно нестрашный (хотя и неприемлемый) вид аномалии; если действие
(3.4.8) сформулировано на мировой поверхности с данной геометрией, то
является определенной с-числовой функцией координат мировой поверхности а
их, так что конформная аномалия, которая нам встретилась в разд. 3.2.2,
является только с-числом. В случае когда g^v Ф t]hv и (3.4.8) описывает
нелинейную теорию со взаимодействиями, мы столкнемся с более серьезной
операторной аномалией в Т+-.
3.4.2. Вейлевская инвариантность
В зависимости от вида тензора g^y масштабная инвариантность действия
(3.4.8) нарушается, поэтому не существует способа регуляризовать (3.4.8),
сохраняя при этом масштабную или конформную инвариантность мировой
