Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
+ (3.3.18)
так что поле Ь++ должно быть аналитической функцией от z. Однако
исследование (3.3.11) показывает, что мы должны потребовать, чтобы &+ + -
>-0 при г->-0, что невозможно для аналитической функции, поэтому Ь++ не
имеет нормируемых нулевых мод. Для рода один из уравнения (3.3.11)
следует, что поле Ь+ + (как и с+) должно быть ковариантно постоянным, и,
следовательно, оно является постоянным, так что имеется в точности одна
антидуховая нулевая мода в этом случае.
Хотя поведение Bg и Сё как функций от g при малых g несколько нарушает
общее правило, стоит отметить, что разность
Ag = Cg-Bg = -3(g- 1) (3.3.19)
ведет себя ровнее. В действительности эта разность определяется
классической теоремой, известной как теорема Римана - Роха, современное
обобщение которой - теорема об индексе Атьи - Зингера - будет обсуждаться
в гл. 14.
Конформно инвариантные параметры, определяющие метрику римановой
поверхности рода g, известны как модули этой поверхности. Пространство
этих параметров называется пространством модулей. Интегралы по мировым
поверхностям струн, соответствующим петлевым диаграммам, включают в себя
также интегралы по пространству модулей, которые в зависимости от
формализма входят тем или иным образом. В формализмах, в которых
присутствуют духи, при получении правильной меры интегрирования в
интегралах по пространству модулей важную роль играют их нулевые моды,
потому что, как мы видели, нулевые моды бис связаны соответственно с
инфи-нитезимальными деформациями модулей и ненарушенными симметриями,
остающимися после процедуры фиксации калибровки. Модулярная группа
SL(2,Z), которую мы определили на однопетлевом уровне, обобщается и на
случай многих петель.
Если не принимать во внимание дискретную группу эквивалентности
относительно группы SL(2,Z), то конформная структура поверхности рода
один определялась бы точкой т в верхней полуплоскости комплексной
плоскости г. Верхняя полуплоскость называется пространством Техмёллера
поверхности рода один, тогда как его фактор-пространство, полученное
факторизацией по группе SL(2, Z) (т. е. идентификацией значений т,
связанных элементами из группы SL(2,Z)) является истинным пространством
модулей. Это имеет аналог и в случае многопет-
3.3. Глобальные свойства мировой поверхности струны
189
левых поверхностей; существует сравнительно простое пространство
Техмёллера, описывающее конформную структуру поверхности с точностью до
определенных дискретных эквивалентностей, тогда как пространство модулей,
которое учитывает эти дискретные эквивалентности, описать намного
труднее. Во многих подходах к проблеме многопетлевых диаграмм
интегрирование по пространству Техмёллера возникает естественно и
модулярная инвариантность не является очевидной. Однако для лриемлемой
теории модулярную инвариантность необходимо
Й
щщтщш
( f-: г
шив
Рис. 3.6. Наипростейшей однопетлевои мировом поверхностью открытой струны
является цилиндр (рис. а). Его всегда можно конформно отобразить на
стандартное кольцо в комплексной плоскости, как показано на рис. Ь.
Другой однопетлевой мировой поверхностью струны является перекрученный
цилиндр, или лента Мёбиуса (рис. с), которую можно рассмотреть
аналогично.
учитывать, так как (например, в однопетлевом случае) поверхности,
описываемые значениями т, которые связаны друг с другом элементами из
группы SL(2,Z), являются на самом деле "теми же" поверхностями с
точностью до репараметризации и модулярная инвариантность является одним
из аспектов репа-раметризационной инвариантности.
В данной книге мы подробно опишем однопетлевые интегралы, а наиболее
эффективный подход к многопетлевым диаграммам все еще находится в стадии
активной разработки, и здесь мы не будем его касаться.
Наше рассмотрение имеет свой аналог для открытых струн и мировых
поверхностей с границей. Например, на однопетлевом уровне для открытых
струн мы имеем дело с мировой поверхностью, которая топологически
является цилиндром, как показано на рис. 3.6, а. Согласно классическим
теоремам, любая метрика на цилиндре конформно эквивалентна стандартной
плоской метрике на кольце a^jz|^b в комплексной плоскости z для некоторых
а и Ь, как показано на рис. 3.6, Ь. Какая из границ цилиндра
соответствует внешней границе кольца, а какая - внутренней, является
вопросом соглашения, так как обе гра-
190
3. Современное ковариантное квантование
ницы кольца меняются местами конформным преобразованием комплексной
плоскости г-^-аЪ/г (которое приводит только к несущественному вейлевскому
изменению масштаба метрики). Сделав замену z-^-z/b, мы можем положить 6 =
1, так что конформная структура кольца -описывается отношением х = а/Ь,
которое является вещественным параметром, изменяющимся от 0 до 1, и
интеграл по этому параметру должен появляться в однопетлевом интеграле
для открытых струн. Аналогичный параметр возникает и для другой мировой
поверхности, соответствующей однопетлевой диаграмме и показанной на рис.
