Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
отношение % неизменным. Таким образом, только т может быть конформно
инвариантным.
То, что х является конформным инвариантом, который не может меняться при
диффеоморфизмах и вейлевских изменениях масштаба, не совсем верно. Пусть
а, Ь, с и d - четыре целых числа, удовлетворяющие условию ad - be = 1,
или, другими словами, такие, что детерминант матрицы
равен единице. Такие матрицы с целочисленными элементами и с
детерминантом, равным единице, образуют группу, называемую модулярной
группой SL(2, Z). В утверждении о том, что эти матрицы образуют группу,
несколько нетривиальным моментом является утверждение, что матрица
(3.3.4) имеет обратную с целочисленными матричными элементами, а именно
матрицу
Предположим, что мы преобразуем ^ и К2 с помощью элемента группы SL (2,
Z):
является в точности таким же, что и тор, определенный соотношением
(3.3.2); действительно, (3.3.2) может быть превращено в (3.3.7)
преобразованием /гите помощью матрицы (3.3.5).
Тот факт, что соотношения (3.3.2) и (3.3.7) определяют эквивалентные
торы, означает инвариантность конформной структуры тора относительно
действия на т определенного преобразо-
z
z' = kz,
(3.3.3).
(3.3.4)
(3.3.5)
(3.3.6)
Тогда тор, определенный соотношением
z ~ z -(- т!
(3.3.7).
184
3. Современное ковариантное квантование
вания из модулярной группы; сравнивая (3.3.2) и (3.3.7), мы можем
определить это преобразование следующим образом:
т -> (ат + b)l(cx + d). (3.3.8)
Комплексное число т, дополненное условием эквивалентности
(3.3.8), является единственной характеристикой метрики на торе, которая
не может быть включена в диффеоморфизм плюс вейлевское изменение
масштаба, хотя исчерпывающее доказательство этого утверждения лежит вне
рамок настоящей книги.
а)
Рис. 3.5. Добавление ручки к поверхности рода g, с тем чтобы сделать ее
поверхностью рода g + 1, можно осуществить в несколько стадий. Сначала
делаются два отверстия, как на рис. а, затем они связываются трубкой
заданной длины и с углом перекручивания, как на рис. Ь). Цель рис. с) -
продемонстрировать, откуда возникает угол перекручивания. Мы вклеили .две
полутрубки в два отверстия; чтобы завершить построение, мы должны склеить
вместе концы этих трубок, но при этом возникает неоднозначный
относительный угол.
Теперь в более сжатом виде обсудим случай поверхности рода g > 1.
Рассмотрим ситуацию, когда к поверхности Б рода g добавляется ручка, с
тем чтобы сделать ее поверхностью рода §¦+ 1. Грубо говоря, нужно сначала
сделать на поверхности Б два отверстия, как это показано на рис. 3.5, Ь.
Затем эти два отверстия нужно соединить трубкой, изображенной на рис.
3.5, с, которая может иметь произвольную длину и может быть перекручена
на произвольный угол, как это показано на рис. 3.5, с. Для того чтобы
определить положение одного из этих •отверстий, нужны два вещественных
параметра или один комплексный. В общей сложности, переходя от
поверхности рода g к поверхности рода g+ 1, мы вводим шесть новых
вещественных параметров (четыре для определения положения двух отверстий,
а также длина ручки и угол ее перекручивания) или три комплексных. Если
мы обозначим число конформно инвариантных комплексных параметров,
необходимых для описания
3.3. Глобальные свойства мировой поверхности струны
185
поверхности 2 рода g, через Bg, то из эвристических соображений следует,
что
Bg+l = Bg+3. (3.3.9)
На самом деле соотношение (3.3.9) справедливо только для g ^ 2, так как
поверхности рода нуль и единица обладают непрерывной симметрией и при g =
0 или g= 1 выбор положений отверстий на рис. 3.5 оказывается инвариантно
не важным. Истинное значение величины Bg при g~^2 равно (3g - 3).
Эвристически мотивировка этого значения заключается в следующем.
Поверхность рода нуль обладает достаточной симметрией для того, чтобы
положение обоих отверстий, изображенных на рис. 3.5, было несущественным,
так что при переходе от поверхности рода нуль к поверхности рода один
добавляется только один комплексный параметр (или два вещественных
параметра: длина и кручение). Следовательно, Si = S0+l = l. Поверхность
рода один (в той формулировке, которая была дана выше) в качестве
непрерывной симметрии имеет только симметрию относительно трансляций
плоскости z. Этого достаточно для перемещения одного отверстия, скажем, в
начало координат, но положение второго отверстия (а также параметры,
связанные с длиной и кручением) инвариантны, так что Вг = В\-{-
+ 2 = 3. В остальных случаях поверхность рода g не
обладает
непрерывными симметриями, так что соотношение (3.3.9) выполняется и
приводит к формуле Ве = 3g - 3.
Мы рассмотрим еще один аспект глобальной геометрии мировой поверхности
струны. При выполнении функционального интегрирования с фиксированой
калибровкой, включающего духи, возникает вопрос: могут ли с+ и Ь++ иметь
нормируемые нулевые моды на мировой поверхности струны? Соответствующие
уравнения суть
V_c+ = 0, V+c" = 0 (3.3.10)
