Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
заявили, что при Ь = 26 это интегрирование можно опустить, так как в этом
случае имеет место инвариант-
168
3. Современное ковариантное квантование
ность относительно вейлевского изменения масштаба. В данном: разделе мы
докажем это утверждение и продемонстрируем, чта вейлевское изменение
масштаба метрики справедливо тогда, когда аномалия Вирасоро исчезает,
что, как мы знаем, происходит в точности при D = 26. Используемые при
этом ключевые идеи учитывают свойства конформно инвариантных теорий в
двух измерениях, и мы в иллюстративных целях рассмотрим теорию свободных
фермионов. В ходе исследования мы столкнемся с новым видом аномалии -
гравитационной аномалией, которая будет интересовать нас в дальнейшем в
главах 10 и 13.
Рассмотрим вещественный движущийся вправо майоранов-ский фермион г|?+ с
действием
S = -? J d2cnM_iK. (3.2.58)'
Тогда двухточечная функция тензора энергии-импульса дается формулой
(3.2.57), где нужно положить k = Q и разделить на два, так как мы имеем
только одну моду г|?+ вместо пары Ь, с1):
(Т+ + (ст+) Т++ (О) = tV (*+ - О"4- (3.2.59>
В этом разделе удобнее работать в импульсном пространстве. На первый
взгляд может показаться, что осуществить фурье-преобразование правой
части уравнения (3.2.59) сложно. Однако с помощью (3.2.48) это делается
довольно просто, если заметить, что в импульсном пространстве д_ = ip-,
д+ = ip+ и что фурье-образом 62(ст-ст') является 1. Следовательно, в
импульсном пространстве вместо (3.2.59) можно написать
(Т++ (р)Т+ + (-р)) = - J1 А. (3.2.60>
Раньше мы уже рассматривали уравнение (3.2.59) на плоской мировой
поверхности и интерпретировали его как свидетельство наличия с-числовой
аномалии в коммутаторе оператора 7 + + с самим собой. Теперь же выясним
значение (3.2.59) и (3.2.60) для теории фермионов, распространяющихся на
искривленной мировой поверхности. Достаточно учитывать отличие от метрики
плоской мировой поверхности только в первом порядке, так что мы положим
Лар = +/аР, (3.2.61>
*) В этом разделе используется евклидова сигнатура на мировой
поверхности, так что мы опускаем символ Т-упорядочения.
3.2. Квантование BRST
169
где fap - возмущение в метрике, которое мы будем рассматривать в
наинизшем порядке. Это сделать нетрудно. Взаимодействие материи с
гравитационным полем дается формулой
AI = ^\d2oFha р. (3.2.62)
Для простой системы (3.2.58) единственной отличной от нуля компонентой
тензора Тар оказывается Т++, так что взаимодействие имеет вид
f++T++/2n. (3.2.63)
-Мы хотим вычислить среднее от фермионного тензора энергии - импульса в
гравитационном поле. С учетом (3.2.63) это можно сделать, исходя из
(3.2.60):
(T++(p)) = ~^^-f++(p). (3.2.64)
Теперь нужно проверить фундаментальный физический принцип - закон
сохранения тензора энергии-импульса. Мы предполагаем, что в фоновом
гравитационном поле выполняется равенство
(DaTafi) = 0. (3.2.65)
В рассматриваемом случае, так как единственной отличной от нуля
компонентой тензора Т является Т++ и так как в наинизшем порядке по
гравитационному полю ковариантную производную можно заменить на обычную,
уравнение (3.2.65) сводится к уравнению <д_7'++>=0. В импульсном
пространстве оно запишется как р_<7'++>=0, что очевидным образом не
выполняется. Вместо этого мы имеем аномальную формулу
Р-<Г+*>= -5ГР3*Г + (Р) = -kpj- (3-2.66)
Вновь мы видим почти неизбежность появления аномалии в двумерии.
Формальное утверждение о том, что левая часть равенства должна обращаться
в нуль, не может быть правильным, если только <Г++>=0, что означало бы
отсутствие всякого взаимодействия с гравитацией. Несохранение энергии-
импульса
(3.2.66) при взаимодействии киральных фермионов с гравитацией
называется гравитационной аномалией. Это означает, что в двумерии теория
киральных фермионов, взаимодействующих с гравитацией, является
бессмысленной, если только не вводить дополнительные степени свободы для
устранения аномалии.
Заметим, что правая часть формулы (3.2.66) является поли-жомом по
импульсу и поэтому выражает <д-Т++} как локаль-
170
3. Современное ковариантное квантование
ный функционал по f- Это является общим свойством аномалий; аномалии
можно считать эффектами ультрафиолетового поведения (хотя есть и другие
способы их рассмотрения), так что они должны быть локальными выражениями.
Хотя выражения в формуле (3.2.66) являются локальными, выражения в
формуле (3.2.64), из которой она получается, таковыми не являются (из-за
сингулярности 1 /р~). Так что никаким способом не удастся добавлением к
(3.2.64) локального члена устранить аномалию в (3.2.66). Только доказав
это, можно быть уверенным, что в теории имеется аномалия. Там, где
добавлением (3.2.64) локального члена можно добиться сохранения энергии-
импульса, представляется физически разумным это сделать.
Рассмотрим теперь теорию как с фермионами а|)_, движущимися влево, так и
с фермионами a|)+, движущимися вправо. Действием для а|)- является
(3.2.67)
Аналог уравнения (3.2.64) запишется теперь в виде
