Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
удерживали в формулах инфракрасное обрезание [х до этого момента, с тем
чтобы объяснить, почему все наблюдаемые, неинвариантные относительно
добавления к ф+ произвольной константы, обращаются в нуль. Такие
наблюдаемые всегда оказываются независимыми от обрезания, тогда как все
другие наблюдаемые обращаются в нуль при В дальнейшем мы ограничимся
рассмотрением только
наблюдаемых, инвариантных относительно сдвига в ф+ на произвольную
константу, и соответственно опустим ^ во всех уравнениях. Предпринятая в
(3.2.79) попытка идентификации показывает, что при сдвиге ф+->-ф+-)-а, с-
>-сег'а, тогда как b^~be~ia\ это позволяет предположить, что симметрия
относительно сдвига в ф+ может интерпретироваться как симметрия,
связанная с фермионным числом. В последующем обсуждении это предположение
будет подтверждено.
Чтобы убедиться окончательно в правильности (3.2.79), мы покажем, что
бозонные операторы, указанные в (3.2.79), удовлетворяют правильным
фермионным антикоммутационным соотношениям. Типичным соотношением,
которое нам хочется установить, является антикоммутатор, взятый при
равных т:
dt + d_t = t2.
(3.2.80)
(3.2.81)
{с+ (<т, т), с+ (а', т)} = 0.
(3.2.82)
') Духи удовлетворяют уравнениям <сс> = <66> = 0. Этому уравнению
соответствует равенство (DlD^= lim^g (D_lD_l} = 0.
174
3. Современное ковариантное квантование
С этой целью исследуем произведение
Di(a, х)Dl(a', т)=е''1,(а'т)ехр^-i ^ddd.tq)^e"i,(a''i:)exp^-i ^
с?ст'дтф^,
(3.2.83)
где мы воспользовались явной формулой для <р+, приведенной в (3.2.39).
Осуществляя в (3.2.83) перестановки с тем, чтобы переместить оператор ф
влево, а оператор дгф вправо с помощью хорошо известной формулы еАев =
евеАе[А- В1, справедливой, если коммутатор [А, В] является с-числом, и
используя канонические коммутационные соотношения для ф и дгср, получим
А (ст, т) D, (ст', Т) = е,я(r)(a'-a)g"<p(a, r)ei<p(a'x) Х
X exp i ^ dcrd/p^ exp ^ - i ^ da'dx<$^. (3.2.84)
Здесь 0(x) равна +1 для положительных л: и 0 в остальных случаях.
Антикоммутатор {Di (ст, т), D\(ст', т)} обращается в нуль, так как
фазовый фактор в правой части (3.2.84) является нечетной функцией
разности ст - а'. Мы предлагаем заинтересованному читателю исследовать и
другие антикоммутаторы, которые подразумеваются при идентификации
(3.2.79).
Мы хотим найти теперь бозонную формулу для тока духового числа. Напомним,
что током духового числа является /+ = = с+Ъ++, или, точнее,
/+(ст+)= Игл Гс+ (а+)Ь+ + (ст'+) + -+ 1 -]¦ (3.2.85)
а'+^.а+ L a -a J
В терминах бозонных переменных этот ток принимает вид
/+(ст+) = lim Г;е*Ф+(о+) : : е-<Ф+(а+);_|-----------1. (3.2.86)
a'+^a+L a -a J
Чтобы перейти к пределу ст'-"-ст, разложим
е-гф+ (а +) _ е-гф+ (а+) (J _ j (0' +-(Х + )<3+ф + ). (3.2.87)
Подстановка в (3.2.87) первого слагаемого в правой части
(3.2.87) приводит к с-числу, которое нужно отбросить из-за нормального
упорядочения. Кажется, что второе слагаемое в правой части (3.2.87)
обращается в нуль при ст'-^- ст, но это не так, оно в точности
сокращается, поскольку произведение :е'ч>+(а+);
3.2. Квантование BRST
175
н :е г<Р+ +); на малых расстояниях имеет особенность, пропорциональную
(ст+ - а'+)-1. На самом деле взятие предела (3.2.86) дает
^ 1+=д+Ф+, (3.2.88)
что и представляет собой бозонизированное выражение для тока духового
числа. Используя канонические коммутационные соотношения, можно
убедиться, что
[У+ (а, т), ф+ (а', т)] = - г'яб (а - а') (3.2.89)
и это подтверждает высказанное ранее утверждение о том, что симметрия
относительно сдвига на константу в ф+ соответствует духовому числу.
Обратимся теперь к исследованию тензора энергии-импульса в терминах
бозонных переменных. Теория духов обладает (только на плоской мировой
поверхности) симметрией относительно "духового сопряжения" b •*-*¦ с.
Духовый ток /+ = с+Ь+ + является нечетной величиной относительно духового
сопряжения. Поэтому, учитывая формулу (3.2.88) (или приводящие к ней
формулы (3.2.79)), мы должны интерпретировать духовое сопряжение как
замену ф-*-------ф. В предыдущем разделе
было определено однопараметрическое семейство тензоров энергии-импульса
(3.2.54), отличающихся друг от друга на производную от духового тока.
Соответствующее однопараметрическое семейство тензоров энергии-импульса в
терминах бозонных переменных имеет вид
Тк+ + =-[<3+ф+(3+ф+ --^ikdlq>+. (3.2.90)
В частности, единственным выбором, инвариантным относительно духового
сопряжения, является выбор k = 0. Воспользовавшись формулами предыдущего
раздела, читатель может легко доказать, что аномалия Вирасоро тензора Т+
+ пропорциональна (1 - 3k2), как и было в фермионных переменных.
При k - 0 операторы Dt и D_f связаны друг с другом духовым сопряжением и
должны иметь одну и ту же конформную размерность. Используя (3.2.80),
можно таким образом найти, что конформная размерность оператора Dt при &
= 0 равна t2/2. Что же получается при =т^= 0? Духовое число оператора Dt
равно t, если учесть идентификацию, сделанную нами для духового числа в
