Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
(Т++) = ~ЖТ^ f->
3 (3.2.68)
^ - ~24 77 ^ + + '
На первый взгляд кажется, что ситуация не улучшилась, так как (3.2.66)
принимает следующий вид:
(Р-Т++) = -
Х 7 24 (3.2.69)
+ + ¦
Однако между (3.2.69) и (3.2.66) имеется огромное различие-В случае
(3.2.69) аномальное нарушение закона сохранения энергии-импульса можно
устранить, добавляя локальные контрчлены к (3.2.68) и записывая уравнения
<г+->= ^(рУ--2р+*'-Г+- + р-Г++)- <3-2-70>
(r~> = - ^ jiW- - 2*v>-J+- +
3.2. Квантование BRST
171
Закон сохранения энергии-импульса теперь выполняется:
Таким образом, в двумерную теорию, описываемую суммой действий (3.2.58) и
(3.2.67), в которой имеются фермионы, движущиеся вправо и влево, можно
непротиворечивым образом ввести взаимодействие с гравитацией. Однако из
вида уравнений (3.2.70) вытекают важнейшие следствия. Хотя формально
действия (3.28.58) и (3.2.67) инвариантны относительно вейлевского
масштабного преобразования метрики, что соответствует теории с Т+- = 0,
на самом деле к тому моменту, когда нам удается удовлетворить закон
сохранения энергии-импульса (более фундаментальный физический принцип,
чем бесследовость тензора энергии-импульса), обнаруживается, что след
тензора энергии-импульса отличен от нуля, а его значение в низшем порядке
по f определяется вторым уравнением в (3.2.70). Это уравнение в
действительности является приближением формулы
где -скалярная кривизна мировой поверхности струны.
Таким образом, мы приходим к выводу, что теория безмас-совых фермионов,
взаимодействующих с гравитацией, имеет смысл (закон сохранения энергии-
импульса выполняется), но на квантовом уровне эта теория не обладает
вейлевской инвариантностью, которая, по-видимому, присутствует в
классическом лагранжиане.
В действительности этот вывод применим к гораздо более общей ситуации,
чем к конкретному рассмотренному нами случаю. Рассмотрим двумерную теорию
общего вида, обладающую масштабной инвариантностью на плоской мировой
поверхности; тогда Т+- = 0 и выполняются равенства
при некоторых константах с и d. Из нашего обсуждения в предыдущем разделе
мы знаем, что cad могут интерпретироваться как аномалии Вирасоро мод,
движущихся вправо и влево соответственно. Связывая эту теорию с
искривленной мировой поверхностью, мы получим, что закон сохранения
энергии-импульса нарушается, если c?=d. Если c = d, то отсутствует вей-
<Р-Л+> + <р+Г+_) = <р+г"> + <р_Г+_> = 0. (3.2.71)
т
+ -
(3.2.72)
(3.2.73)
172
3. Современное ковариантное квантование
левская инвариантность и имеется аномалия вида (3.2.72), если: с = йфО.
Рассматривая с этой точки зрения модель Венециано, мы получим, что (с
учетом духов) в этой модели c = d = (D - 26) в пространстве-времени любой
размерности D и тензор энергии-импульса мировой поверхности сохраняется,
даже если эта поверхность является искривленной. Однако след этого
тензора равен нулю только при D - 26, когда c = d = 0; но это как раз тот
случай, когда имеет место вейлевская инвариантность, используемая для
устранения интеграла по Dtp в (3.1.13).
3.2.4. Бозонизация духовых координат
Духовыми уравнениями движения, выведенными из действия (3.2.52), являются
д__с+ =д^Ь++ = 0. (3.2.74)
Они имеют тот же вид, что и уравнение, которому удовлетворяет поле <р+,
<3_<р+ = 0. (3.2.75)
Тогда возникает вопрос, можно ли выразить антикоммутирующие переменные,
такие как с+ и Ь++, через движущийся вправо бозон ф+.
Фермионная свободная теория поля в значительной степени определяется
двухточечной функцией
<с+ (ст+) Ь++ (<х'+)> = (^r_!.g,+)-. (3.2.76)
Можно ли найти такие операторы в бозонной теории, которые приводили бы к
этой двухточечной функции? Пусть оператор
х Dt(o+) = \.i2h : е"ф+(<,+) : , (3.2.77)
где и - инфракрасное обрезание, присутствующее в (3.2.41). С помощью
(3.2.41), рассуждая так же, как это было сделано во введении при
вычислении среднего от произведения, мы получим для двухточечной функции
операторов Dt
(Dt (а+) D-t (</+)> = (<т+ - </+Г'2. (3.2.78)
Инфракрасное обрезание ц в этой формуле отсутствует. Сравнение (3.2.78) с
(3.2.76) позволяет нам попытаться идентифицировать
с+ (о+) ~ :е{*+ <0+):, Ь++ (о+) ~ :е~^+ (3.2.79>
3.2. Квантование BRST
173
Мы вскоре приведем дополнительные аргументы в пользу такой
идентификации1). Если обозначить конформную размерность оператора Dt
через dt, то из формулы (3.2.78)
В гл. 7 нам понадобится обобщение уравнения (3.2.78), а именно
Функция в правой части (3.2.81) обращается в нуль при |д->-0, кроме
случая Е/,=0. Это отражает тот факт, что функция в левой части (3.2.81)
инвариантна относительно замены ф+->-->Ф++ константа только в случае
Е/,=0. Симметрия относительно замены ф+-"-ф+_|_ константа является
непрерывной симметрией свободной бозонной теории, а непрерывная симметрия
в квантовой теории поля в пространстве размерности 1 + 1 не может быть
спонтанно нарушена. Эта симметрия и предсказывает обращение в нуль
выражений в (3.2.81), за исключением только случая, когда Е// = 0. Мы и
