Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
операторами & и с и определить, насколько духи и антидухи являются
различными. Например, для открытых струн выражения, взятые при а = 0,
оо
С (т) = Z Cne~inx (3,1.54)
- оо
и
оо
ь (т) = ? bne-in\ (3.1.55)
- оо
имеют конформную размерность J - -1 и / = +2 соответ-
ственно, так как
[И'\ Ьп] =(т - п) Ьт+п, (3.1.56)
[Щ,сп] = -{2т + п)ст+п. (3.1.57)
3.2. Квантование BRST
153
Конформные размерности операторов с и b согласуются с теми значениями
размерностей, которые мы им приписали бы на основе определенной ранее
классификации различных типов голоморфных тензоров. В действительности
это является общим правилом.
Определим полные генераторы Вирасоро, соответствующие So + Sgh, формулой
Lm = № + Ш - аЬ . (3.1.58)
m m 1 tn m ' 1
Заметим, что мы сделали сдвиг в том определении L0, которое
использовалось ранее, так что нулевая связь имеет теперь вид Lo - 0.
Аномалия с учетом вклада от духов и полей материи дается выражением
А (m) = (т3 - т) + (т - 13т3) + 2am. (3.1.59)
Оно обращается в нуль тогда и только тогда, когда D - 26, а а = 1, что
является еще одним способом получить эти магические значения. Только при
этих значениях теория действительно конформно инвариантна.
3.2. Квантование BRST
Включение духов привело нас к генераторам Вирасоро, удовлетворяющим
коммутационным соотношениям [Lm, Ln] =
- (т - n)Lm+n наивной алгебры без аномалий. Отсутствие аномалий
означает, например, что уравнения связей можно использовать более
непосредственным образом; целесообразен поиск состояний |%>,
удовлетворяющих уравнению Ln|%> = 0 для всех п. Однако включение духов
создает и новые проблемы. Каким же образом должны определяться физические
состояния теперь, когда мы работаем в значительно более широком
пространстве Фока, содержащем как духовые и антидуховые возбуждения, так
и возбуждения координат Ответ на этот вопрос дает процедура BRST-
квантования.
Впервые BRST-квантование было введено при рассмотрении проблемы
квантования теории Янга - Миллса как некоторая полезная процедура для
доказательства перенормируемости неабелевых калибровочных теорий в
четырехмерии. Было найдено, что после фиксации янг-миллсовской
калибровочной инвариантности имеется глобальная фермионная симметрия и
эта ненарушенная симметрия является полезным инструментом при анализе
структуры возможных контрчленов. Мы увидим, что по довольно сходным
причинам BRST-квантование оказывается полезным и в теории струи, помогая
понять ситуацию с действием, в котором фиксирована калибровка.
154
3. Современное ковариантное квантование
Для наших целей в настоящем разделе эта мотивировка изучения BRST-
квантования является достаточной, но полезно отметить, что в
действительности BRST-квантование в теории струн имеет намного более
важное значение. Фактически в случае теории струн само выражение "BRST-
квантование" должно восприниматься с некоторыми изменениями. Теория Янга
- Миллса, как и почти любая физическая теория, является теорией, в
которой формулировка основных принципов заканчивается после того, как
получено линейное уравнение Шрёдин-гера - после этого остается только его
изучение. Однако в струнной теории, как это подробно обсуждалось в гл. 1,
все обстоит по-другому. В этой теории после квантования свободной струны
основная цель - изучить взаимодействия струн, или в каком-то смысле
ввести нелинейности в линейное уравнение Шрёдингера. В то время как
другие калибровочные теории изучаются как нечто вполне замкнутое,
квантовая теория свободной струны представляет собой способ изобретения
еще находящейся в процессе разработки значительно более богатой и
претендующей на большее теории. Но нам нет нобходимости касаться здесь
таких высоких материй. Перед нами стоит сложная техническая проблема
идентификации физических состояний в "большом" пространстве Фока,
содержащем возбуждения как координат Х*\ так и духов и антидухов; мы
увидим, что BRST-квантование приводит к элегантному решению этой
проблемы.
3.2.1. Построение BRST-заряда
Рассмотрим некоторую физическую систему с операторами симметрии Ki,
которые образуют замкнутую алгебру Ли
[*?.*,] = №' (3-2.1)
где fff являются структурными константами алгебры G. BRST-квантование
предполагает введение "антидухов" bi, преобразующихся по присоединенному
представлению алгебры G, и "духов" с', преобразующихся по представлению,
дуальному к присоединенному1). Они удовлетворяют антикоммутационным
*) В хорошо знакомом нам случае компактных алгебр Ли присоединенное и
дуальное к нему представления совпадают. В общем же случае это не так.
Сказать, что духи с' преобразуются по представлению, дуальному к
присоединенному,-это замысловатый способ сказать, что они несут контра-
вариантный индекс алгебры Ли, тогда как 6/ несут ковариантный. Алгебра
Вирасоро является типичным примером, в котором нет инвариантного способа
поднятия и опускания индексов алгебры Ли, так что с' и Ь; под действием
алгебры Вирасоро преобразуются по-разному; мы уже видели, что они имеют
