Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
а= 1/12, (3.2.51)
что согласуется с результатом вычислений, проведенных ранее.
Одним из достоинств этого вычисления является то, что оно показывает в
каком-то смысле неизбежность аномалии Вирасоро. Зависимость от (о+ -
ст/+)~4 в (3.2.45) определяется только масштабной инвариантностью и имеет
место в любой конформно инвариантной теории в пространстве 1+ 1
измерений. Только коэффициент при (ст+ - а'+)~4 может быть другим в
другой конформно инвариантной теории. Этот коэффициент должен быть
положительным в любой теории, в которой рассматриваются только физические
степени свободы, так как двухточечная функция эрмитова оператора Т++
должна быть положительной. Только включение духов может привести к
исчезновению аномалии Вирасоро.
Чтобы увидеть, как это происходит, рассмотрим конформно инвариантную
теорию поля, описывающую духи. Достаточно
166
3. Современное ковариантное квантование
сосредоточить внимание только на модах, движущихся вправо:
S = -^ J d2oc+d_b+ + . (3.2.52)
Двухточечная функция равна (с+ (ст) b++ {а')) = ~- ^ d2ketk'{<y~a )/k_ =
= ±д+ J Л^-(а + -а'+)Д2=_ (3.2.53)
Тензор знергии-импульса нельзя однозначно определить из вида действия на
плоской мировой поверхности (3.2.52), так как в действительности тензор
Tk++ = ~jr[ (д+с+ .b++-c+d+b++) + kd+(c+b++)] (3.2.54)
сохраняется для любого k. (Операторы энергии и импульса, построенные из
Т++, не зависят от k, так как член в (3.2.54), зависящий от k, является
полной производной.) Наше исследование духового действия на искривленной
мировой поверхности показало, что правильным значением для k является k =
3, но мы оставим пока k свободным параметром, так как в дальнейшем нам
встретятся системы с другими значениями k. Моды Фурье тензора (3.2.54)
совпадают с (3.1.49), если положить
/ = A+lL. (3.2.55)
Симметричное рассмотрение b и с свелось бы к взятию k = 0. В этом случае
поля b и с при масштабах и конформных преобразованиях преобразуются как
обычные фермионные поля конформной размерности 1/2. Введение ненулевого k
приводит к сдвигу коммутатора любого поля Z с тензором Т++ на величину,
линейную по k. Мы уже вычислили, что при k = 3 оператор Ь++ имеет
конформную размерность 2, а оператор с - конформную размерность -1. В
более общем случае из-за явной линейности по k конформная размерность
оператора Ь равна (1+&)/2, а оператора С равна (1-k) /2. Этот результат
является частным случаем еще более общего утверждения. Напомним, что
током духового числа является оператор /+ = = с+Ь++. Зависящая от k часть
тензора (3.2.54) совпадает в точности с производной от тока духового
числа, и благодаря этому зависящая от k часть конформной размерности
любого физического поля Z зависит только от духового числа поля Z. Итак,
пусть d(Z)-конформная размерность поля Z при k - 0, й пусть g(Z) является
его духовым числом. Тогда конформная
3.2. Квантование BRST
167
размерность dk{Z) поля Z при произвольном k равна
dk{Z) = d{Z)-kg{Z)l2. (3.2.56)
Заинтересованному читателю предлагается проверить это утверждение,
воспользовавшись определением конформной размерности и тем фактом, что
зависящий от k член в (3.2.54) является производной от духового тока. Для
данного обсуждения уравнение (3.2.56) несущественно, но оно будет играть
определенную роль при построении ковариантного фермионного вершинного
оператора в гл. 7.
Заметим, что в (3.2.54) Ь++ и с+ являются различными антикоммутирующими
переменными. Если положить Ь+ + = с+, с тем чтобы получить систему только
с одной антикоммутирующей переменной, то независящая от k часть в
(3.2.54) по-преж-цему будет иметь смысл, а содержащая k часть обратится в
нуль в силу статистики Ферми.
Вернувшись к формуле (3.2.54), можно непосредственно воспользоваться
видом пропагатора для вычисления двухточечной функции тензора энергии-
импульса. Это предполагает вычисление выражения, соответствующего
однопетлевой диаграмме типа той, что изображена на рис. 3.1. В результате
получаем
(Т (Тк++ (а+) Тк++ (*'+))> = | (1 - 3k2) (а+ - а'+)~\ (3.2.57)
Положив k = 3 и сравнив эту формулу с (3.2.45), мы видим, что введение
духов приводит к исчезновению аномалии Вирасоро для 26 бозонов. Вот
почему критическая размерность модели Венециано равна 26. Зависимость от
А в (3.2.57) совпадает с таковой в формуле (3.1.51), если мы положим, что
k = 21- 1. Причина этого совпадения станет более очевидной в следующем
разделе.
Суперконформные духи, с которыми мы встретимся в следующей главе, имеют k
= 2, так что на первый взгляд из формул (3.2.57) и (3.2.45) следует, что
они дают такой же вклад в аномалию, что и -11 бозонов. На самом же деле
эти духи являются коммутирующими полями в отличие от антикоммутирующих
полей Ь и с; изменение статистики приведет к знаку минус, и, как будет
показано, суперконформные духи имеют ту же аномалию, что и +11 бозонов.
3.2.3. Аномалии Вирасоро, конформные и гравитационные аномалии
В конце разд. 3.1.1, анализируя интегрирование по D<р в (3.1.13), мы
