Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
симметричным выбором является U^=~ 1/2; t/^ = -)-l/2. Он как раз
соответствует тому правилу нормального упорядочения, которое используется
в формуле (3.2.28). В каком-то смысле это правило довольно специфично,
так как из него следует, что все собственные состояния оператора духового
числа являются полуцелыми. Тем не менее этот выбор представляется
наиболее естественным; например, именно такой выбор делает калибровочно
инвариантную струнную полевую теорию наиболее простой, хотя в настоящей
книге эта тема не будет затрагиваться.
Теперь мы надеемся, что физические состояния могут быть охарактеризованы
как классы BRST-когомологий с определенным духовым числом. Поскольку мы
считаем, что физические состояния не обязательно содержат духовые
возбуждения, должно быть возможным (после некоторого преобразования ¦ф ip
+ QA,) представить физическое состояние а|) в таком виде, когда волновая
функция духов пропорциональна одному из двух основных состояний |f> или
||>. Следовательно, духовое число физического состояния может быть равно
±1/2. Выбор одной из этих двух возможностей не является просто вопросом
договоренности, так как духи и антидухи входят в теорию несимметричным
образом. Например, они имеют конформные размерности -1 и 2. Правильным
оказывается выбор, когда физические состояния имеют духовое число -1/2.
Действительно, пусть % - состояние, которое аннулируется операторами
уничтожения духов и антидухов:
со 11) = 11 >" &olt> = U>-
(3.2.29)
cn\%) = b"\x)=:0, п> 0.
(3.2.30)
3.2. Квантование BRST
161
Мы можем думать, что такое состояние "не содержит ни духов, ни
антидухов". Предположим к тому же, что состояние ^ имеет духовое число -
1/2, поэтому аннулируется оператором Ьо• Для состояния такого вида
условие BRST-инвариантности сводится к
о = Q \%) = (с0 (L<"> - 1) + Z I х>, (3.2.31)
V п> о )
так что единственное условие Q|%>=0 воспроизводит все условия, налагаемые
на физическое состояние в более старом формализме ковариантного
квантования. Если же мы выберем состояние \уу с духовым числом +1/2 (так
что оно аннулируется оператором Со, а не Ьо), то первое слагаемое в
правой части
(3.2.31) пропадет и мы не получим всех условий, налагаемых на
физическое состояние1). Если мы найдем состояние %, удовлетворяющее и
(3.2.30), и (3.2.31), то может ли оно быть записано в виде % - QX для
некоторого Я? Легко видеть, что это потребовало бы выполнения равенства
%=Zl(-UK) (3-2.32)
п> 0
для некоторых состояний |ЯП). Отсюда в свою очередь следовало бы, что
состояние % имеет нулевую норму, так как в силу
(3.2.31)
<Х IX) = / I L-Лп\%)=Z(K\Ln\%) = 0. (3.2.33)
\п> 0 п> 0 /
Фактически такие состояния являются в точности физическими шпурионными
состояниями, которые обсуждались в гл. 2. Таким образом, мы показали, что
состояния, удовлетворяющие традиционным условиям физичности в теории
бозонной струны, приводят к классам когомологий BRST с духовым числом -
1/2 и что физическое состояние как класс когомологий является тривиальным
(т. е. может быть записано в виде QX для некоторого А,) тогда и только
тогда, когда оно является, говоря прежним языком, состоянием с нулевой
нормой. Итак, мы приходим к заключению, что физические состояния в теории
безонной струны являются классами когомологий BRST с духовым числом -
1/2. На самом деле, чтобы завершить доказательство, нужно установить и
обратное этому утверждение. Мы хотим показать, что BRST-инвариантное
состояние х с духовым числом -1/2 может быть записано в виде % = %' + QK
где % удовлетворяет условию (3.2.30) и поэтому соответствует физическому
*) В нефизическом случае конечного пространственно-временного объема (и
только в этом случае) недостающие условия воспроизводятся, если
рассмотреть инвариантность относительно преобразования X^X+Ql^)-
162
3. Современное ковариантное квантование
состоянию старого подхода, погруженному в расширенное фоко-во
пространство описанным выше способом. Хотя довольно очевидно, что это
действительно так, по-настоящему полного и компактного доказательства к
моменту написания этой книги, похоже, не появилось, и мы не будем
пытаться его здесь доказывать.
3.2.2. Ковариантное вычисление аномалии Вирасоро
В данном разделе мы опишем альтернативный способ вычисления аномалии
Вирасоро, который приводит к многим полезным следствиям. Напомним общий
вид коммутационных соотношений алгебры Вирасоро:
[Lm, Ln\ = (m - п) Lm+n + (atn3 + bm) 6m+n (3.2.34)
Из двух аномальных коэффициентов а и Ь в действительности только а имеет
инвариантное значение; Ь можно исключить сдвигом константы нормального
упорядочения, которая входит в Lq. Мы хотим теперь показать, как
вычислить а, используя методы, которые можно назвать методами на мировой
поверхности, в отличие от разложений по модам, которые использовались в
гл. 2.
Рассмотрим конформно инвариантную свободную теорию бозонного поля на
мировой поверхности, в качестве которой мы возьмем всю комплексную
плоскость:
