Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
соответственно конформные спины - 1 и 2. Вообще говоря, 1 дуально к 1 -
I.
3.2. Квантование BRST
155.
соотношениям
(3.2.3)
(3.2.2)
(В случае бесконечномерных алгебр Ли, чтобы придать смысл оператору U,
необходимо вычесть константу, возникающую из нормального упорядочения. Мы
временно не будем этого делать, чтобы быть в согласии с математической
литературой. Заметим, что собственными состояниями оператора U являются
целые, пробегающие значения от 0 до п, где п - размерность алгебры Ли G.)
Затем вводится оператор
Этот оператор известен физикам как BRST-оператор, а для математиков он
является оператором, с помощью которого вычисляется когомология алгебры
Ли G со значениями в представлении, которое определяется операторами Ki.
Основным свойством оператора Q является то, что
Для доказательства этого равенства нужно воспользоваться коммутационными
соотношениями (3.2.1) и тождеством
которое следует из (3.2.1), если воспользоваться тождеством Якоби.
Пусть Ск - гильбертово пространство состояний с духовым числом U = ?,
Говорят, что состояние % в Ск является BRST-инвариантным, если
Qx = 0. (3.2.7)
Имеется тривиальный способ нахождения BRST-инвариантных: состояний; в
силу (3.2.5) любое состояние вида % = QX является инвариантным. Состояние
X должно обязательно иметь духовое число, равное k-1, так как из вида
оператора Q следует, что он меняет духовое число любого состояния, на
которое он действует, на +1- Интересными решениями уравнения (3.2.7)
являются те решения, которые не могут быть записаны в виде % = Gk. Два
решения % и %' уравнения (3.2.7) мы будем считать эквивалентными, если %
- является тривиальным решением
(3.2.7) в том смысле, что
(3.2.4)
Q2 = 0.
(3.2.5)
(3.2.6)
x-x' = QA
(3.2.8)
156
3. Современное ковариантное квантование
для некоторого К. Классы эквивалентности решений уравнения
(3.2.7) с духовым числом п, где два решения считаются эквивалентными в
соответствии с приведенным только что определением, образуют то, что в
математической литературе называлось бы п-й когомологической группой
алгебры Ли G со значениями в представлении R, определяемом матрицами Ki.
Ее общепринято обозначать Hh(G-,R). Классы эквивалентности называются
классами когомологий.
Особый интерес представляют BRST-инвариантные состояния с нулевым духовым
числом. Из вида оператора духового числа U следует, что состояние % с
нулевым духовым числом должно уничтожаться всеми операторами bk, так что,
действуя на такое состояние, второе слагаемое в Q обращается в нуль;
действительно, для такого состояния
Q%=Zc%%, (3.2.9)
i
Состояние, которое уничтожается оператором 6/, не может уничтожаться
каким бы то ни было оператором с1, так что условие Q% - 0 эквивалентно
условию
Ка = 0, ; = 1,...,п. (3.2.10)
Таким образом, состояние % с нулевым духовым числом BRST-инвариантно
тогда и только тогда, когда оно G-инвариантно. С другой стороны,
состояние с нулевым духовым числом невозможно записать в виде % = QX, так
как нет состояний с духовым числом -1. Следовательно, состояния с нулевым
духовым числом, удовлетворяющие (3.2.10), не что иное, как классы
когомологий нулевого духового числа. Итак, группа когомологий H°(G\ R)
совпадает с пространством G-инвариантных состояний с нулевым духовым
числом. Конечно, состояние с нулевым духовым числом является состоянием,
которое аннулируется операторами уничтожения духов 6,- и, следовательно,
никаких духов не содержит.
Это более или менее то, что нам нужно. Нахождение BRST-инвариантных
состояний с нулевым духовым числом является способом выделения G-
инвариантных состояний, не содержащих духов. Такой способ решения
проблемы можно было бы применить и для физических систем с конечным
числом степеней свободы, хотя в этом случае он оказался бы, мягко говоря,
слишком громоздким. В струнной же теории этот подход действительно очень
полезен.
Многое из того, о чем говорилось выше, можно аналогичным образом
осуществить и в случае бесконечномерной алгебры Ли,
3.2. Квантование BRST
157
-такой как алгебра Вирасоро. Отличий будет немного. Уравнение Q2 = 0
может быть подвержено аномалии, поэтому оно требует тщательной проверки.
Кроме того, оператор духового числа U содержит постоянную, возникшую в
результате нормального упорядочения. Из-за этого, хотя и разумно ожидать,
что физические состояния струны являются классами BRST-когомологий % (по
модулю калибровочного преобразования % ~"-X + Q^) с некоторым
определенным духовым числом, было бы наивным предполагать, что это
духовое число равно нулю; духовое число физических состояний является
постоянной нормального упорядочения, которая зависит от выбранной
физической системы.
Выберем теперь в качестве G алгебру Вирасоро и попытаемся реализовать
программу BRST. Генераторам Вирасоро Lm (где тп - произвольное целое
число) мы должны поставить в соответствие духи ст и антидухи Ъп, это в
точности те фурье-моды, с которыми мы имели дело ранее в процессе
