Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 56

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 212 >> Следующая

движущихся влево и вправо. Например, уровень а'М2 = 4 соответствует
представлению, которое получается при разложении произведения ш X ш ¦
Спектр, описанный выше, является спектром ориентированных замкнутых струн
- спектром "расширенной модели Шапиро- Вирасоро". При желании его можно
сузить, рассматривая состояния, соответствующие неориентированным
струнам. С физической точки зрения ориентированная струна - это струна,
имеющая внутреннюю "стрелку", как изображено на рис. 2.5, а,
оо
оо
(2.3.105)
(2.3.106)
138
2. Свободные бозонные струны
тогда как неориентированная струна никаким направлением не обладает, как
показано на рис. 2.5, Ь. С математической точки зрения неориентированная
струна - это струна, квантовый волновой функционал которой 4я(Jfi*(а))
инвариантен относительно замены ст-*--ст. На квантовый волновой
функционал ориентированной замкнутой струны такое ограничение не
налагается. Так как на наши струнные волновые функционалы ограничения,
связанные с заменой ст->-ст, не налагались, то это означает, что мы
рассматривали ориентированные замкнутые струны, хотя явно это не
указывалось. Теперь обсудим альтернативный случай неориентированных
замкнутых струн. Так как замена ст-*-ст приводит к тому, что осцилляторы,
движущиеся
71 п п п
<*) ь)
Рис. 2.5. Ориентированные и неориентированные открытые струны. Струна
имеет ориентацию (рис. а), если заряды на ее концах различны (как в КХД с
обычной калибровочной группой SU(n)), тогда как струна не имеет
ориентации (рис. Ь), если заряды на ее концах одинаковы, как в
калибровочной теории с калибровочной группой 50 (п) или Sp(n). Для
замкнутой струны понятие ориентации также является важным, хотя и более
абстрактным.
влево и вправо, ат и ат, меняются местами, то состояние неориентированной
замкнутой струны должно быть симметрично относительно перестановки двух
наборов этих осцилляторов. Таким образом, только симметричные
произведения муль-типлетов состояний открытой струны можно использовать
для описания состояний неориентированных замкнутых струн. Например, для
безмассового состояния член, являющийся антисимметричным тензором,
следует отбросить, а члены, соответствующие гравитону и дилатону,
сохранить. Спектр неориентированных замкнутых струн - это спектр
"ограниченной модели Шапиро - Вирасоро".
2.3.5. Асимптотические формулы для плотности уровней
Исследуем теперь асимптотическое поведение плотности уровня для очень
высоких возбужденных состояний. Этот подраздел не является полностью
замкнутым, и читатель при желании может вернуться к нему после прочтения
приложения к гл. 8, посвященного модулярным функциям.
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
139
Полное число состояний открытой струны с а'М2 = п-1, обозначаемое через
d", удобно определять как коэффициент при wn в выражении
trw", (2.3.107)
хде N является оператором числа частиц
оо
(2.3.108)
п-1
Так как мы хотим учитывать только физические состояния, осцилляторы в
(2.3.108) являются только поперечными осцилляторами а'п, 1 - 1, ...,24.
Объектом, который вычисляется
намного легче, чем отдельные коэффициенты dn, является производящая
функция
оо
G(w)='Zd"wa = tTwlf. (2.3.109)
пт О
Она находится с помощью элементарных методов квантовой "статистической
механики. Действительно,
tr = П tr ге;а-= Й (1 - wn)~2i = [/ (да)]-24, (2.3.110)
л-I п-1
тде функция
/И = П(1-гО (2.3.111)
П~{
известна как классическая статистическая сумма; она появ-
ляется во многих проблемах аддитивной или комбинаторной теории чисел.
Чтобы оценить асимптотическую плотность состояний, нам необходимо знать
поведение функции f(w) при ш-М. Грубую оценку можно сделать,
воспользовавшись равенствами
f (w) = exp Г ^ In (1 - wn)
' п = 1
( wmn\ ( wm ^ '
=exPl~ L - J=exP( ~L
' m, 1 ' ' m= 1 '
~"p(-nhr Ё Т5г)~"Р(- бТгЬг)' (2'3 U2>
4 m-1 '
140
2. Свободные бозонные струны
Более точную оценку можно получить, если заметить, что, заменив w на
e2nix, мы сделаем функцию f(w) тесно связанной-с эта-функцией Дедекинда:
00
т| (т) = еш>п П (1 - e2ninx). (2.3.113)
1
Для этой функции имеет место формула модулярного преобразования
Л (- 1/т) = (-г'т)1/2 Л (т) (2-3.114)
(которая будет выведена в приложении к гл. 8 в контексте вычислений
петлевых диаграмм). Применяя ее к функциям f(w), мы получим формулу Харди
- Рамануджана
f ^ = (т^)'/2 ^-1/2У/12/ №)> (2.3.115)
где
"=е*р(т|=-)- <2-3-U6>
Эта связь позволяет вывести асимптотическую формулу для W-*-1 (или q-*-0)
/ (до) ~ Л (1 - W)-112 ехр (- ё([^ш)). (2.3.117)
Получив асимптотическую формулу для f(tiu), а следовательно, и для
производящей функции G(w) - [f(w)i\-24, мы теперь вернемся назад и
определим интересующее нас с самого начала поведение коэффициентов dn при
больших п. Коэффициент dn может быть выделен из функции G (w) - ? dnwn с
помощью контурного интеграла вдоль окружности малого радиуса вокруг
начала координат:
dn=-±-§^dw. (2.3.118)
2яг J w т
При больших п, воспользовавшись асимптотическим разложением функции f(w),
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed