Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
этот интеграл можно оценить с помощью метода седловой точки. Функция G(w)
быстро стремится к нулю при w-*-1, тогда как при очень большом п и w <С 1
величина wn+i очень мала. Следовательно, для больших п по переменной w
имеется четко определенная седловая точка в окрестности 1. Действительно,
множитель
ехР[-Т^Г-('1+1>1Н (2.3.119)
2.4. Резюме
141
стационарен при In до ~ - 2я/л/п + 1. Поэтому мы получаем, что при п-+ ОО
dn ~ (const) "_27/4ехр (4л/л/п). (2.3.120)
Используя п ~ а 'т.2, можно найти асимптотическое поведение плотности
уровней как функции массы
р (т.) ~ /п-25/2ехр (т/та), (2.3.121)
где
= (2.3.122)
Плотность уровней так быстро растет с увеличением массы, что статическая
сумма \г ег^н свободной теории не может быть определена при температурах
выше максимальной Т = /ла. Это привело к гипотезе о наличии некоего
фазового перехода около этой температуры. Однако развить такую гипотезу
слишком далеко не удается, так как мы имеем дело с системой, включающей
гравитацию. Понятие температуры и идея о фазовых переходах в
действительности справедливы только тогда, когда макроскопическая система
рассматривается в существенно бесконечном объеме. Такой предел не
существут в системе, включающей гравитацию, так как в присутствии
гравитации любой статистический ансамбль с ненулевой энергией на единицу
объема в пределе бесконечного объема находится внутри своего
шварцшильдовского радиуса и нестабилен относительно гравитационного
коллапса. (Даже в нерелятивистской теории такая система всегда подвержена
нестабильности Джинса, которая играет решающую роль в теории формирования
звезд и галактик.) Таким образом, при наличии гравитации нет стабильного-
термодинамического ансамбля и сами понятия температуры и фазовых
переходов не определены. С практической точки зрения это нас особенно не
беспокоит, так как мы имеем дело с температурами, настолько малыми по
сравнению с планков-ским масштабом, что для нас температура и
статистическая механика являются хорошими приближенными понятиями. Однако
при энергиях порядка (а')-1<2 понятие температуры, по-видимому,
утрачивает свой смысл, и то, что происходит в теории струн на таких
масштабах, вряд ли можно понять в терминах термодинамики.
2.4. Резюме
Классическая теория струн может быть последовательно сформулирована в
пространстве-времени любой размерности, но квантование, приводящее к
спектру, свободному от духов, тре-
142
2. Свободные бозонные струны
бует, чтобы D 5=^ 26. Кроме того, интерсепт ведущей траектории Редже
должен удовлетворять условию а ^ 1. В специальном случае D = 26 и а = 1 в
спектр дают вклад только поперечные степени свободы, а большое количество
состояний с нулевой нормой из него выпадает. Это говорит о наличии в
теории очень широкой калибровочной инвариантности. Эти результаты были
получены в рамках различных ковариантных и нековариантных подходов,
которые будут нами использоваться в дальнейшем изложении.
Замкнутые струны описываются за счет удвоения степеней свободы открытых
струн. Два набора мод в этом случае независимы, и единственным условием,
которое их связывает, является равенство = Замкнутые струны особенно
важны, так как в их спектр входит безмассовый гравитон.
3. Современное ковариантное квантование
Как подробно обсуждалось в гл. 2, распространение струны в объемлющем
пространстве-времени описывается двумерной полевой теорией. Эта двумерная
теория обладает локальной репараметризационной инвариантностью. В гл. 2
мы ее про-квантовали каноническими методами, используя одновременные
коммутаторы, связи и гильбертово пространство физических состояний.
Альтернативным подходом к проблеме квантования полевых теорий является
метод функциональных интегралов. Опыт, преобретенный при изучении обычной
калибровочной теории поля в четырехмерном пространстве-времени,
подсказывает нам, что квантование методом функциональных интегралов
является особенно естественным в случае систем с локальными симметриями и
позволяет получить много результатов, к которым трудно прийти каким-либо
другим способом. Поэтому естественно рассмотреть квантование свободной
струны, используя те же методы, которые обычно применяются при
квантовании любой другой калибровочно-инвариантной теории. Такая точка
зрения была предложена Поляковым в 1981 г., хотя использование
функциональных интегралов для квантования струнных действий с
фиксированной калибровкой восходит к начальному этапу развития струнной
теории.
3.1. Ковариантное квантование методом функциональных интегралов
Действие свободной полевой теории
= S ^а*Ч*д. (3-1 • 1)
будучи дополнено связями, описывает распространение свободной струны. Оно
является частным случаем действия
S [А, X] = - -JJ- \ d2a У* Л^ЗаЛ*^, (3.1.2)
144
S. Современное кввариантное квантование
в котором фиксирована калибровка. Естественно проквантовать теорию с
действием (3.1.2) теми же методами, которые используются при квантовании
любой другой калибровочно-инвариантной теории, начав с функционального
