Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
SR = -- да (3.2.35)
в 2п ) d ада(рд ф.
До сих пор бозонными полями, представляющими для нас интерес,
всегда были пространственно-временные координаты
-Х>(сг), но сейчас, имея в виду дальнейшее развитие теории, мы обозначаем
бозонное поле в (3.2.35) нейтральным обозначением ф. По этим же причинам
нами выводится несколько формул, которые непосредственно понадобятся в
последующих разделах. Пропагатором поля ф является
(ф (ст) ф (ст')) = Л J --р =
=-ylnda-CT'lli), (3.2.36)
где fi - инфракрасное обрезание, которое будет опускаться во всех
соответствующих формулах. Это выражение возникало в разд. 1.4.4. Если
ввести переменные ст± = т±сг, то поле ф будет удовлетворять свободному
волновому уравнению
0 = <Э+<?_Ф. (3.2.37)
3.2. Квантование BRST
163
Это означает, что ф можно разложить на две части:
ф(ст+, ст-) =-уф+ (0+) + уф- (0"). (3.2.38)
В разложении (3.2.38) есть некоторая неоднозначность: к ф+ мы можем
добавить произвольную константу и вычесть ее из ф~. Мы обсуждаем сейчас
формулировку квантовой теории поля с действием (3.2.35) на плоскости, и в
пределе бесконечного объема неоднозначность, связанная с нулевыми модами
в (3.2.38), не приводит к каким-либо последствиям. Однако вскоре она
окажется важной, когда мы будем обсуждать бозониза-цию в конечном объеме.
Явные формулы для ф+ и ф- могут быть легко получены. В самом деле,
оо
ф+(<7, т) = ф(ст, т)- ^ do'^-,
(3.2.39)
ф- (а, т) = ф (о, т) + da' .
О
Уравнения (3.2.39) очевидным образом удовлетворяют соотношению (3.2.38),
а уравнение (дт + дст)ф± = 0 легко проверить, воспользовавшись уравнением
движения (д\ - <32)ф = 0.
Так как ф+ является функцией только 0+, а ф~--функцией только а~,
двухточечная функция {'ф+Ф-) должна обращаться в нуль, тогда как <Ф+Ф+)
должна быть функцией только о+, а <ф~ф~> - функцией только а~. Записав
(3.2.36) в виде
((ф+ (ст+) + ф- (о~)) • (ф+ (<т'+) + ф" (0'-))) =
= - In ((о+ - 0,+) (ст- - ст'-) (X2), (3.2.40)
мы получаем достаточно информации для того, чтобы выделить отдельные
куски:
(ф+ (<т+)ф+ (а' + )>= - 1п[(а+ - 0,+)|л],
(ф" (а-) ф~ (а/-))= - In [(оГ - ст'")|л]. (3.2.41)
Это, конечно, можно проверить с помощью (3.2.39).
Обратимся теперь к объекту, который нас особенно интересует, -- тензору
энергии-импульса мировой поверхности, для которого имеем
Т++ (ст+) = д+фд+ф = -^д+ф+д+ф+; (3.2.42)
164
3. Современное ковариантное квантование
формула для Т- аналогична. Тензор энергии-импульса удовлетворяет
уравнению
0 = д _Т+ + . (3.2.43)
Чтобы вычислить аномалию Вирасоро, воспользуемся приемом, хорошо
известным в алгебре токов. Рассмотрим упорядоченную по времени (точнее,
упорядоченную по т) двухточечную функцию <Г(Г+ + (а+) 7 + + ((т'+)) >.
Она не сохраняется, а удовлетворяет соотношению (подобному тождеству
Уорда)
д_(Т{Т++{о, t)T++(o', т'))> =
= 4 6 (т - т') ([Г++(а, т), Т++ (o', т')]>, (3.2.44)
которое возникает (как это обычно и бывает в алгебре токов) из-за того,
что, внося производную д_ под знак Г-произведения, мы получаем коммутатор
значений при равных временах.
Рис. 3.1. В теории свободного поля двухточечная функция тензора энергии-
импульса дается простой однопетлевой диаграммой.
Взятие среднего от коммутатора [Г+ + (а), Т+ + (о') ] в правой части
уравнения (3.2.44) выделяет его с-числовую часть, являющуюся аномалией
Вирасоро. Поэтому аномалию Вирасоро можно найти, вычислив выражение в
левой части тождества (3.2.44). В теории свободного поля двухточечной
функции с тензором энергии-импульса соответствует простая однопетлевая
диаграмма, изображенная на рис. 3.1. Чтобы вычислить выражение,
соответствующее этой диаграмме, в координатном представлении, нет
необходимости интегрировать, оно равно просто произведению различных
пропагаторов. Используя (3.2.41) и (3.2.42), мы получим
(Т(Т++(в+)Т++(в'+))) = ±(в+-в'+Г4. . (3.2.45)
В левую часть уравнения (3.2.44) входит производная
д_[(ст+-ст,+Г4]. (3.2.46)
На первый взгляд может показаться, что она обращается в
нуль, но на самом деле мы должны учесть, что
д_~ = Ы62(а)\ (3.2.47)
3.2. Квантование BRST
165
•следовательно,
а_ (а+ - ст/+)_4== 1^1 д_ (а+ - а'+Г
==-^L^62(CT-0')- (3-2'48) Таким образом, (3.2.44) и (3.2.45)
соответствуют аномальной части коммутатора значений оператора тензора
энергии-импульса при равных временах:
[Т+ + (а, т), Т++ (а', х))А = -i-& S'" (а - а'). (3.2.49)
Индекс А в [ , ]А означает, что мы вычислили только аномальную, с-
числовую часть коммутатора.
Это вычисление было проведено для свободной теории поля на плоскости, но
аномалия (3.2.49) определяется поведением свободного поля на малых
расстояниях, так что (3.2.49) остается одинаково справедливым и для
теории, сформулированной на мировой поверхности, скажем, замкнутой
струны. В этом случае генераторы Вирасоро определяются как моменты
преобразования Фурье тензора Т++:
Л
= "2jT" \ doe2inaT j.+ (ст), (3.2.50)
о
а формула (3.2.49) дает численное значение очень важного коэффициента а в
(3.2.34), а именно
