Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 71

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 212 >> Следующая

волновой функционал удовлетворяет условию
Y (ф (а)) = -Y(<р (о) + 2я).
Важнейшим моментом здесь является дискретность значений р0. Этот факт
более фундаментален, чем то, что эти значения являются полуцелыми, а не
целыми. При бозонизации фер-мионной теории в конечном объеме получающееся
бозонное поле является угловой переменной, принимающей значения на
окружности от 0 до 2л. На самом деле, когда осуществляется бозонизация не
просто одной пары антикоммутирующих полей Ь++ и с+, а п таких пар, нужно
ввести п бозе-полей <ра, а = = 1, ..., п, и, как будет обсуждаться в гл.
6, в этом случае можно сформулировать несколько очень важных обобщений
утверждения, приведенного выше.
Требует комментария и другой, хотя и менее фундаментальный факт - наличие
знака минус в условии Чг(ф(о) + 2я) = = -Чг(ф(о)). Знак минус возникает
из требования полуцелости собственных значений оператора ро, необходимого
для того, чтобы операторы с+(о) и Ь+ + {о) удовлетворяли правильным
граничным условиям для духовых координат, а именно с+(о + -f- 2л) =
с+(о), Ь+ + {о-\-2я) = Ь+ + (о). Если рассматривать фер-мионные поля с
противоположными граничными условиями с+(а + 2л) = -с+(о), &+ + (о + 2я)
= -fe+ + (o), то в (3.2.96) и (3.2.95) потребуется, чтобы оператор р0
имел целые собственные значения, так чтобы бозонизированный волновой
функционал удовлетворял противоположному условию '{''(ф(о) + 2я) = =
+4r(cp(0))-
Способность бозонизировать фермионы на окружности приводит к некоторым
интересным следствиям. В терминах ф+ га-

мильтониан doT++ свободной полевой теории имеет вид
о
оо
Я = рЦ2 + Z Ф_"Ф" - 1/24, (3.2.97)
п = 1
куда мы включили постоянную нормального упорядочения, значение которой
явилось одним из результатов нашего исследования процедуры квантования
струны. Оператор духового числа равен
U = ро- (3.2.98)
Из элементарной квантовой статистической механики известно, как записать
статистическую сумму такой свободной полевой
3.2. Квантование BRST
179
теории:
оо оо
tre-Ptf = ep/24 ? e-p(n+i/2)V2 Д ----------(3.2.99)
п= - оо m = 1 ^
Полезно вычислить не просто tr а более общее выраже-
ние tr е~$нети. Положив q = е~Р, для этого выражения мы получаем
оо оо
tr qHemu = q~xi2i ^ g{n+mmem{n+m) JJ -Цй-- (3.2.100)
п - - оо m = 1
Что же получится, если мы выразим Н и U не через бозоны, а через
фермионы? В этом случае
оо
H = Z п(Ь_псп + с_пЬп) + х (3.2.101)
П= 1
(конечно, нулевые моды Ьо и со в Н не входят), где х является неизвестной
постоянной нормального упорядочения, а оператор U, как и в (3.2.28),
имеет вид
оо
и = \ (Фо - Ь0С0) + ? (с_"г>" - 6_"с"). (3.2.102)
П= 1
Воспользовавшись стандартными методами квантовой статистической механики
и формулами (3.2.100) и (3.1.102), мы получим
оо
tr qHemu = qx2 cos (0/2) Ц (1 + qnem)(l + qne~ie). (3.2.103)
n=\
He является очевидным то, что при любых значениях х соотношения (3.2.100)
и (3.2.103) совпадают, но теорема Якоби утверждает, что это действительно
так, если л: = 1/12. В самом деле, формула Якоби для тройного
произведения
оо оо
? q{n + v2Wei (п+1/2) е = 2^1/8 cos (0/2) П (1 ~qn) (1 +qneie)(I +qne~№)
Л= - оо П= 1
(3.2.104)
равносильна эквивалентности формул (3.2.100) и (3.2.103) при х=1/12. В
приложении 8.А мы найдем применение формуле (3.2.104), которая была
доказана Якоби при изучении эллиптических функций.
Другой интересный результат проведенного исследования заключается в
следующем. Мы установили, что если р0 является полуцелым, то бозонный
гамильтониан (3.2.97) эквивалентен
180
3. Современное ковариантное квантование
гамильтониану с двумя антикоммутирующими степенями свободы b и с,
удовлетворяющими периодическим граничным условиям в b (ст + 2л) = Ь{а), с
(о + 2я) = с (а). Энергия основного состояния гамильтониана (3.2.97) с
полуцелыми р0 равна (I/2)3-• 1/24= 1/12. Итак, мы видим, что постоянная
нормального упорядочения двух антикоммутирующих функций равна 1/12, так
что для одной антикоммутирующей степени свободы (майорановского фермиона)
эта постоянная должна быть равна
= +1/24. (3.2.105)
С другой стороны, если мы в формуле (3.2.97) возьмем р0 целым, то на
основании проведенного выше анализа теория с гамильтонианом (3.2.97)
будет эквивалентна теории с двумя антикоммутирующими полями b и с,
удовлетворяющими антипе-риодическим граничным условиям Ь(а + 2л) = -Ь(а),
с(а + + 2л) = -с (а). В случае целого р0 энергия основного состояния
гамильтониана (3.2.97) равна -1 /24, и мы приходим к выводу, что
постоянная нормального упорядочения фермионов, удовлетворяющих
антипериодическим граничным условиям, равна
= -1/48 (3.2.106)
для каждого (майорановского) поля. Что же касается бозонов, то из гл. 2
мы знаем, что постоянная нормального упорядочения бозонов с
периодическими граничными условиями равна
е(r) = -1/24. (3.2.107)
Можно рассмотреть и более общие граничные условия, но в настоящей книге
эти граничные условия нам чаще всего будут нужны. Полученные выше
результаты могут показаться несколько эвристическими. Но в
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed