Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
квантования духов. BRST-оператором является
оо оо
Q = Z Ь(-тст - у ?(**-*)•¦ c_mc_nbm+n : -ас0, (3.2.11)
- оо -оо
где мы воспользовались явным видом структурных констант алгебры Вирасоро.
Сравнивая эту формулу с выражениями для операторов Lm, выведенных ранее
для полей материи и духов, получим, что Q можно записать в виде
оо
Q = ? : (l(tm) + у 4?т - а6т) ст : . (3.2.12)
- оо
Аналогично, оператор духового числа равен
оо
U=Z: с-тЬт: , (3.2.13)
- оо
где теперь необходимо произвести нормальное упорядочение. Конечно, для
замкнутых струн мы добавили бы к этим формулам еще и вклад
от второго набора, т. е. от движущихся влево
духов и осцилляторов1).
*) Множитель 1/2 перед оператором ?(с) в (3.1.12) может вызвать удив-
ление, но он является следствием вычислений, приводящих к формуле
(3.2.11). Множитель 1/2 нужен не только для выполнения равенства Q2 = 0,
но и для многих других формул в теории, таких, как Lm = {Q, bmj, где Lm =
158
3. Современное ковариантное квантование
Важным свойством физической системы, которое не следует из общих
рассуждений, является то, что BRST-оператор Q и оператор числа духов U
могут быть получены в виде интегралов-от сохраняющихся зарядовых
плотностей. BRST-ток определяется как
JB+ = 2с+ (Г(Д +1Т?+) , (3.2.14>
a J- получается заменой - ¦"-"¦ +. Г++ дается формулой
(3.1.48), а Т^+ = (д+Ху, что было получено в разд. 2.1.3. Ток
духового числа определяется формулой
J+ = c+b+ + , (3.2.15)
где вновь /_ определяется заменой - +. Легко увидеть (из-
уравнений движения для Ь и с и закона сохранения тензора энергии-импульса
на мировой поверхности), что эти токи сохраняются,
а_/+= д_/+ = О, (3.2.16)
и что соответствующие сохраняющиеся заряды действительно являются BRST-
зарядом
Я
Q = i \do(jB+ + ji) (3.2.17)
О
и оператором духового числа
я
U = ~\do(J+ + JJ. (3.2.18)
о
Точнее, эти формулы сводятся к полученным ранее толька в случае открытых
струн. В случае же замкнутых струн при написании формул (3.2.17) и
(3.2.18) нужно учитывать моды, движущиеся и вправо, и влево.
Осуществим теперь нормальное упорядочение в определении Loa> и во втором
слагаемом в Q. Возникающие при этом неоднозначности могут быть включены в
член, линейный по Со, с неопределенным коэффициентом а. Из предыдущего
рассмотрения следует, что на классическом уровне Q2 = 0, но сейчас нам
хотелось бы знать, выполняется ли это равенство на квантовом уровне.
Чтобы исследовать этот вопрос, заметим, что из: (3.2.11) и (3.2.12)
следует равенство
оо
Q2=Y{Q, Q}=y?([Lm, Ln]-(rn-n)Lm+n)c-mc-n, (3.2.19)
3.2. Квантование BRST
159
где Lm дается формулой (3.1.58). Поэтому Q2 = 0 для D = 26
я а = 1 как следствие обращения в нуль аномалии А (т) в
(3.1.59).
Можно продемонстрировать и обратное, а именно то, что "з равенства Q2 = О
следует отсутствие аномалий алгебры Вирасоро. Для этого сначала заметим,
что полные генераторы алгебры Вирасоро (3.1.58) даются формулой
Lm = {Q,bm}, (3.2.20)
которую читателю следует проверить. Кроме того,
[Lm, Q] = [{Q, bm}, Q]=0, (3.2.21)
что является следствием равенства Q2 = 0. Таким же образом показывается,
что алгебра Вирасоро полных генераторов замыкается без всякого
аномального члена:
[Lm, Ln] = [Lm, {Q, bn}} = {Q, [Lm, bn]} =
= (m - ri) {Q, bm+n} = (m - n) Lm+n. (3.2.22)
Определим BRST-преобразование произвольной физической величины Y
выражением
6Y = [AQ, Y], (3.2.23)
где К - постоянный грассманов параметр. Можно показать, что имеют место
формулы
ЬХ* = Ьс+д+Х* + 1с~д~Х", (3.2.24)
б с+=Хс+д+с+, (3.2.25)
56++ = 2iXT+ + , (3.2.26)
5Г++ = 0 (3.2.27)
и аналогичные, где сделана замена +-"-*¦-. Оператор Т+ + =
- ?'++ + ?'++ является полным тензором энергии-импульса. Легко
видеть, что квадрат этого преобразования равен нулю и что это
соответствует инвариантности действия с фиксированной калибровкой.
Исследуем теперь вопрос о нормальном упорядочении в операторе духового
числа ^
оо
и = У (c0b0 - b0c0) + Yj (c-nbn - Ь-пСп). (3.2.28)
П= 1
Мы выделили духовые и антидуховые нулевые моды с0 и Ьо, требующие
специального рассмотрения, так как нет очевидного и естественного способа
их упорядочить.
160
3. Современное ковариантное квантование
Оба оператора, со и Ьо, в действительности коммутируют с гамильтонианом,
поэтому основное состояние вырождено. Это является следствием того факта,
что основное состояние должно быть элементом пространства представления
этих операторов. В самом деле, со и Ьо удовлетворяют антикоммутационным
соотношениям с* = Ь20 = 0 и {с0, = 1. Для построения непри-
водимого представления этих соотношений необходимы два состояния, которые
можно назвать |f> и ||,>; их можно подобрать таким образом, что они будут
аннулироваться операторами Со и Ьо соответственно. Тогда должны
выполняться равенства
Чему равны "духовые числа" и С/*, состояний | f) и | j)?
Из (3.2.29) очевидно, что U+ = + 1. но это соотношение не
фиксирует значения и в отдельности, которые на самом деле зависят от
постоянной нормального упорядочения в определении оператора U. Наиболее
