Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
интеграла
Z = J Dh (ст) DX (ст) e~s [Л> Х]. (3.1.3)
К этому выражению мы применим современную технику Фад-деева - Попова для
интерпретации статистической суммы калибровочной теории.
3.1.1. Духи Фаддеева - Попова
Символ ^ Dh (ст) обозначает интеграл по трем независимым
компонентам й+ + (ст), h_____(а), Л+_(ст). Необходимо определить
точную меру, которая должна использоваться в этом интеграле; при этом
могут возникнуть аномалии, поскольку нельзя удовлетворительным образом
определить меру так, чтобы сохранить все явные симметрии выражения
(3.1.3). Так как имеются три калибровочные инвариантности, две
репараметризации и вейлевская масштабная инвариантность, желательно
выбрать калибровочное сечение таким образом, чтобы он соответствовал
определенному выбору для каждой из трех функций hap(o). Мы хотим наложить
обычное калибровочное условие1)
Лаэ = ефЛар. (3.1.4)
которое в координатах светового конуса означает, что
0 = h++ - h___. (3.1.5)
При репараметризации мировой поверхности ст+^-<т+ + |+, ст--"-
калибровочные условия (3.1.5) преобразуются следующим образом:
6Л++ = 2у+?+, ЛА__ = 2V_?_. (3.1.6)
(Это равносильно формуле, знакомой нам из общей теории относительности,
для преобразования метрического тензора при инфинитезимальных
координатных преобразованиях: 6Лар =
= Va?p + Здесь V - ковариантная производная со связностью
Кристоффеля, так что Valp = <3a?p - r2plY.) Процедура
наложения калибровочного условия в функциональном интеграле, таком, как
(3.1.3), хорошо известна. Пусть G - группа
*) Это-некоторое упрощение; глобальные свойства будут обсуждаться позже.
i.I. Ковариантное квантование
145
репараметризаций мировой поверхности струны Е, и пусть Dg обозначает меру
по групповому многообразию. Пусть № обозначает метрику, в которую
преобразуется метрика h при репараметризации g. Тогда основной формулой,
с помощью которой осуществляются манипуляции в функциональном интеграле,
является тождество
1 = J Dg (а) б (h%+) б {hi-) det (6he++/6g) det (dhljdg). (3.1.7)
Множители det (6h++/dg), det (dht-/dg) - это обычные детерминанты,
возникающие при фиксации калибровки и необходимые для того, чтобы
интеграл действительно был равен единице. Следующий шаг при фиксации
калибровки в функциональном интеграле - вставка "1" в виде (3.1.7) в
функциональный интеграл (3.1.3). Это приводит к
Z = J Dg (a) J Dh (or) DX {a) e~S хк *] б (h%+) б (й?_) X
X det (dh8++/bg) det(bhljbg). (3.1.8)
Так как действие S репараметризационно инвариантно, S [Л, ^] = = S[/ig,
X], подынтегральное выражение в (3.1.8) зависит от h и g только через
комбинацию he. Поэтому мы сделаем замену переменных интегрирования g и h
на g и h' = А(r) и выделим интеграл ^ Dg, который теперь дает вклад в виде
бесконечного
мультипликативного множителя. Таким образом мы приходим к функциональному
интегралу с фиксированной калибровкой:
Z=^ Dh' (a) DX (a) e~s №'• *1 б (Л'++) б (й'__) X
X det (6h'++/bg)/det (6A'__/6g). (3.1.9)
Распорядиться дельта-функциями в (3.1.9) довольно просто,
они означают, что интеграл ^ Dh' сводится к интегралу по h'+_
или, что то же самое, по ср, определенному в (3.1.4). С детерминантами в
(3.1.9) разобраться труднее. Обычно их представляют в виде интегралов по
антикоммутирующим "духам и антидухам". Необходимые формулы могут быть
получены из выражений (3.1.6) для 6A'++/6g = 6A'++/6?+ и 6h'__/6g =
- 6Л:__/б?_-Действительно, имеют место равенство
бh'+ + (<т)/б|+ (а') = 2V+6 (а - а') (3.1.10)
и аналогичное'с заменой +-"-. Дельта-функция в (3.1.10) не что иное, как
тождественный оператор в координатном про-
146
3. Современное ковариантное квантование
странстве, и именно V+ (и V-) является тем оператором, детерминант
которого нужно знать для вычисления (3.1.9). Поэтому для представления
первого детерминанта в (3.1.9) мы вводим антикоммутирующие "дух" с~ и
"антидух" Ь~~ и записываем1)
det (6h'++/6g) =
= ^ Dc~ (a)Db (ст)ехр j - ^ d2ac~'y+b__ j. (3.1.11)
Второй детерминант в (3.1.9) также представляется в виде интеграла по
духу с+ и антидуху Ь++:
det (f>h'__/8g) =
= $ Dc+ (a) Db++ (а) ехр { - ^ d2oc+V_b++ }. (3.1.12)
Используя дельта-функции в (3.1.9) для выражения h через конформный
множитель ср, определенный в (3.1.4), мы получаем для функционального
интеграла с фиксированной калибровкой
Z = $Dq>(o)$ DX (ст) Dc (ст) Db (ст) ехр {- S (X, Ь, с)}, (3.1.13)
где теперь действие S содержит кроме действия свободного поля
(3.1.1) еще и духовые члены, определенные в (3.1.11) и (3.1.12).
Далее нужно обсудить интеграл по Dcp в (3.1.13). Формально
подынтегральное выражение в (3.1.13) не зависит от ср, так что интеграл
по Dq> приводил бы просто к несущественному общему множителю. На самом же
деле из-за трудностей с регуляризацией интеграл по Dq> определяется
только в 26-мерии, где происходит сокращение конформных аномалий. Однако
для обоснования этого утверждения необходимо развить определенные методы,
чего пока еще мы не сделали. Поэтому пока просто предположим, что
