Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
величинами.
Как уже указывалось в разд. 1.3.3, тензор энергии-импульса мировой
поверхности определяется как
Т =_____~• (3.1.32)
1 °р У л блаР
Используя эту формулу для того, чтобы найти вклад духов,
нужно быть внимательным и учесть связность Кристоффеля в
(3.1.31). Необходимо также не забыть про бесследовость тензора Ь$у.
Проделав тщательно все выкладки, мы получим вклад духов в тензор энергии-
импульса
т% = -I [у сщаьР) Y + (V<aCV) ftp, Y - след]. (3.1.33)
Скобки означают симметризацию находящихся в них нижних индексов. Будучи
бесследовым и симметричным, тензор Та$ в комплексном базисе, описанном
выше, имеет отличными от
150
3. Современное ковариантное квантование
нуля только компоненты Т+ + и Т________То же самое относится
и к baft¦ Например,
т<?+= -/[^-с+а+б++ + (<3+С+) ь++]. (3.1.34)
Заметим также, что в конформной калибровке действие Ss
упрощается:
SFP^~l(c+d_b++ + c-d+b__)d2a. (3.1.35)
Эта формула действительно совпадает с формулой для действия
Фаддеева - Попова, определенного в предыдущем разделе. {Проверяя это,
читатель должен воспользоваться правилами (3.1.17) и (3.1.18) для
поднятия и опускания индексов.)
3.1.3. Квантование духов
Из формулы (3.1.35) для действия духов Sfp следует, что & и с являются
сопряженными степенями свободы с простыми каноническими
антикоммутационными соотношениями
{Ь++(а, т), с+ (а', т)} = 2nd (а - а'), (3.1.36)
{Ь___(а, т), с~(о', т)} = 2яб(а - а'). (3.1.37)
В конформной калибровке их уравнения движения имеют вид
д_с+ =д_Ь++= 0, (3.1.38)
д+с~ = д+Ь__ =0, (3.1.39)
где Ь++ является полем, сопряженным к с+, а Ь~~-к с~. Из граничных
условий для открытой струны следует, что на концах струны с+ = сг,
поэтому
с+ = Zcne-in"+°\ (3.1.40)
- ОО
оо
с~ = X Cne~in (г~0>- (3-1-41)
- ОО
Аналогично, из этих условий следует, что на концах Ь+ + - Ь~~, поэтому
6++ = Z*"e"'"(T+0), (З-1-42)
- ОО
&__ = (3.1.43)
3.1. Ковариантное квантование
15)
(Символ Ьп для духовых мод не следует путать с символом для
антикоммутирующих мод бозонного сектора суперструн, которые вводятся в
следующей главе.) Антикоммутационные соотношения, записанные через моды,
выглядят так:
{cm> bn} = 6m+n, (3.1.44)
{Cm, с"} = {bm, bn} = 0. (3.1.45)
Для замкнутых струн граничным условием является периодичность по а,
так что с+ и сг имеют независимые разложения по
модам (как это было в случае координат X, движущихся вправо
и влево):
оо
с+ = у2" Z cne-2in"+°>, (3.1.46)
- оо
оо
с~ = У2~ X спе~21п (3.1.47)
- оо
Аналогично, координаты Ь++ и Ь-~ включают моды Ьп и Вп-В эти формулы Ь и
с входят симметрично, несмотря на присутствие полей с~ и Ь-~, которые
выглядят как антисимметричные тензорные структуры. Они входят
симметрично, так как на плоской мировой поверхности в лагранжиане духов
поля b и с появляются симметрично. На искривленной мировой поверхности
это не так, что видно из нашей формулы (3.1.31) для действия духов на
такой поверхности. Подобным же образом Ь и с не входят симметрично в
тензор энергии-импульса мировой поверхности, так как он выводится
варьированием по метрике мировой поверхности; даже на плоской мировой
поверхности поля Ь и с входят в тензор энергии-импульса
по-разному, так
как на искривленной мировой поверхности они распространя-
лись бы по-разному. Во все формулы, отражающие более глубокие аспекты
теории, поля Ь и с входят совершенно различно. Действительно, это,
например, видно из формул (3.1.33) и (3.1.34) для тензора энергии-
импульса мировой поверхности:
7(tm). = ~ i[^c+d+b++ + д+сЧ++\
п 1 (3.1.48)
Т(± = -i [i- c~d_b__ + д_с~Ь__\.
Подставляя вместо 7 + + и Т______их разложения по модам и выде-
ляя моды Фурье Lm = - doetmaT++ (для открытой струны),
я J _я
мы получаем генераторы Вирасоро
Е [т (/ - 1) - п\ bm+nc-n, (3.1.49)
152
3. Современное ковариантное квантование
где J = 2 является конформной размерностью антидуха (тогда как дух с
имеет конформную размерность J = - 1). Мы оставили в формуле свободный
параметр J, а не сделали подстановку J = 2, так как в дальнейшем нам
будет интересно проанализировать систему, в которой b и с заменены на
антикоммутирующие поля спина J и 1-J. Как обычно, при т = О в формуле
(3.1.49) нужно произвести нормальное упорядочение. Конечнр, для замкнутых
струн имеется еще второй набор духовых генераторов Вирасоро. Операторы
L%> удовлетворяют коммутационным соотношениям обычной алгебры Вирасоро
US?. т=(т-п) Ь^+п + А^т)Ьт+п (3.1.50) с аномальным членом
Ас(т) = -^[\ -Ш]т3 + \т, (3.1.51)
где k = 2J - 1, что для 1 = 2 дает
Ас (т) = -^-(т - 13т3). (3.1.52)
Как и в гл. 2, наиболее легкий и безошибочный способ определить аномалию
- это вычислить некоторые специальные матричные элементы:
Ас (1) = (0 | L\c\ L<f>] | 0) = (0 | L<C>L<?> | 0) =
= (0 | (&,с0 + 2Vi) (-b-iCo ~ 2V-i) I 0) =
= - 2 <0 | (c0b0 + Vo) I 0) = -2. (3.1.53)
Имея разложение по модам (3.1.49) операторов алгебры Вирасоро, можно
непосредственно вычислить коммутационные соотношения операторов L(? с
