Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
терминах бозонных переменных, так что конформная размерность Dt при
произвольном k определяется через ее значения при А = 0с помощью формулы
(3.2.56)
dt (k) = t2l2 - kt/2.
(3.2.91)
176
3. Современное ковариантное квантование
Эта формула играет важнейшую роль при построении ферми-онного вершинного
оператора для суперструн.
Так же как и при фермионном описании, существование однопараметрического
семейства тензора энергии-импульса логически должно соответствовать
существованию однопараметрического семейства взаимодействий свободного
поля ф на искривленной мировой поверхности (Л!(2) - ее скалярная
кривизна). Соответствующими действиями этого семейства являются:
Sk = - Ж § d2° ^ (^аФ^Ф - Т ^^(2>ф) • (3.2.92)
На плоской мировой поверхности действие (3.2.92) не зависит от k. Однако,
проварьировав по метрике мировой поверхности, с тем чтобы вывести
выражение для тензора энергии-импульса и затем приравняв эту метрику к
т]ар, можно получить тензор знергии-импульса (3.2.90), зависящий от k. Мы
предлагаем читателю проверить это.
Важной особенностью действия (3.2.92) является сохранение духового числа
((3.2.92) инвариантно относительно замены ф-> ->Ф + const) только при k =
0. Нарушение сохранения духового числа на искривленной мировой
поверхности можно непосредственно установить из формулы (3.2.92); в
рамках фермионного описания это значительно менее очевидно и требует
рассмотрения аномалий в однопетлевых диаграммах на искривленной мировой
поверхности. С другой стороны, в рамках фермионного описания нарушение
сохранения духового числа на искривленной мировой поверхности проявляется
в том, что на компактной мировой поверхности поля Ь и с имеют различное
число нормируемых нулевых мод; это будет обсуждаться для случая & = 3 в
следующем разделе.
Мы уже рассматривали бозонизацию фермионов для действия (3.2.92),
сформулированного для бесконечного объема в пространстве размерности 1 +
1. Однако во многих приложениях важно исследовать бозонизацию фермионов,
распространяющихся по окружности. Если рассмотреть свободную теорию с
действием (3.2.92) в конечной области одномерного пространства 0 ^ ст ^
2я с хорошо знакомыми нам периодическими граничными условиями1), то поле
ф+ имеет обычное разложение по нормальным модам, которое нами подробно
обсуждалось:
ф+ (ст) = ф0 + стр0 + i ? -i- q>"e~ina. (3.2.93)
П =т^0
1) В настоящей книге теория замкнутой струны периодична с периодом я, а
теория открытой струны после удвоения интервала становится эффективно
периодичной с периодом 2jt. Здесь мы следуем второму соглашению.
3.2. Квантование BRST
177
Здесь [ро, фо] = -i, a [cpn, <pm] = nbn+m. Заметим, что р0 является
оператором духового числа, который сдвигает поле ф на константу. Можно
спросить, является ли бозонизация фермио-нов справедливой не только в
бесконечном объеме, но и на окружности. Ответ на этот вопрос оказывается
довольно непростым и приводит к многочисленным следствиям. Как и в случае
бесконечного объема, попробуем определить операторы
с+ (ст) = : eiv+{c)b+ + (сг) = : e~itf+ 1а>:. (3.2.94)
Нужно точно установить, что должно означать нормальное упорядочение.
Правильным оказывается следующий рецепт:
с+(сг) = ехр^- -^-е~'пауЛе'Ч)ое'а<р°+,/2>ехр/' - ^
V п <0 / V п >0 /
(3.2.95)
Ь+ + (ст) = ехр ( ^ ^-е-'пофп^ е~ ^e~"g(p°+i/2)exp f У' -
\п <0 / >0 )
(3.2.96)
Терпеливый читатель должен суметь, рассматривая для каждой отдельной моды
тождество еАев = eBeAeiA- в\ доказать, что определенные этими формулами
операторы с+ и Ь++, действительно удовлетворяют правильным
антикоммутационным соотношениям. Тот факт, что в формулы (3.2.95) и
(3.2.96) входит сумма р0 + 1/2, а не просто р0, может показаться
странным, но так действительно должно быть для правильного соответствия
между статистиками Бозе и Ферми. Таким образом, из периодичности с+(ст +
2л) = с+(ст), Ь++(о + 2л) = ?++(<т) следует, что оператор духового числа
р0 в (3.2.95) и (3.2.96) должен иметь полуцелые собственные значения, что
согласуется с полученным ранее утверждением о том, что духовые числа
состояний открытой бозонной струны действительно должны быть полуцелыми.
Требование, чтобы оператор р0 имел полуцелые собственные значения, имеет
интересную "физическую" интерпретацию. Так как р0 является величиной,
канонически сопряженной к координате нулевой моды ф0 (поэтому ро = -
idv"), наличие у оператора р0 только полуцелых собственных значений
означает, что Фо является угловой переменной, для которой ф0 и ф0 + 2л
физически эквивалентны, а квантовый волновой функционал Ч'" удовлетворяет
условию Чг(ф0 + 2л) = -^(фо) (остальные переменные мы не выписываем).
Действительно, из вида разложения по модам (3.2.93) следует, что, когда
мы добавляем константу к фо, все квантовое поле ф(ст) сдвигается на эту
константу, так что это поведение можно было бы выразить и не
178
3. Современное ковариантное квантование
прибегая к разложению по модам, а утверждая, что точный квантовый
