Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
где g- константа взаимодействия в процессе испускания частицы ф, а
множитель l/М2 получается из пропагатора \/{k2-\-+ М2) этой частицы,
вычисленного при № = 0,- значении, которое соответствует головастику.
Если взаимодействие слабое (для сильного взаимодействия разложение в
окрестностях классического решения вряд ли будет полезным), вклад от
головастиков мал при любом отличном от нуля М. Пока вклады от них малы,
головастики хотя и доставляют неприятности, но эти неприятности
проявляются просто в малом сдвиге в правильное вакуумное состояние и
поэтому безвредны.
Рис. 3.8. Вставка "головастика" в фейнмановскую диаграмму схематически
изображена на рис. а). В теории струн такие головастики автоматически
учитываются в любом вычислении, как это показано на рис. Ь), так как
добавление вставки головастика в диаграмму распространяющейся струны не
меняет ее топологии.
Что же происходит в теории струн? В процессе любого вычисления происходит
автоматическое суммирование по всем возможным головастикам, так как (см.
рис. 3.8,6), добавляя головастик к диаграмме, мы не меняем ее топологию.
Как мы только что видели, вклад головастиков от массивных частиц мал (в
режиме слабых взаимодействий, где теория возмущений имеет смысл). В
теории струн на самом деле нет необходимости проверять, удовлетворяются
ли уравнения движения для массивных состояний, так как даже если они не
удовлетворяются, то это просто приводит к небольшому несущественному
сдвигу вакуумного состояния, возникающему из-за вклада от головастиков,
которые всегда автоматически учитываются в любом вычислении. Теория струн
уходит своими корнями в S-матричный подход, и это соответствует тому, что
в ней нет простого способа задать вопрос, не требующий ответа, вроде
вопроса о том, удовлетворяются ли уравнения движения для массивных
частиц. С другой стороны, головастики безмассовых частиц всегда опасны, и
соответственно существует хороший способ, а именно использующий (3.4.33),
чтобы их изучить.
(Г\
3.4. Струны в фоновых полях
203
Почему приведенное выше доказательство ограничено уровнем древесных
диаграмм теории струн? Главным в этом доказательстве является
существование на римановой сфере или на плоскости х-у преобразования
(3.4.34), которое является конформным преобразованием (изменение, которое
оно индуцирует в метрике мировой поверхности, может быть включено в
вейлевское изменение масштаба), а не изометрией. Для диаграмм замкнутой
струны, отличных от сферы, аналога этому нет. На торе, например, или на
многообразии RP2 (которое возникает в случае неориентированных струн и
будет обсуждаться в гл. 8) единственными конформными преобразованиями
являются постоянные сдвиги, которые не приводят к нетривиальному закону
скейлинга (3.4.36), использованному в доказательстве. Для поверхностей
более высокого рода конформные преобразования вообще отсутствуют.
Что происходит, если включить в рассмотрение и открытые струны? На уровне
древесных диаграмм мировой поверхностью для открытых струн является диск,
который может быть конформно отображен в верхнюю полуплоскость плоскости
х-у. Вершинный оператор открытой струны вставляется на границе верхней
полуплоскости, скажем в точке х = у = 0. В теории только открытых струн
соображения, основанные на масштабных преобразованиях (3.4.34), приводят
к тому, что так же, как и в случае замкнутых струн, из конформной
инвариантности следует обращение в нуль вкладов от головастиков с тем
единственным отличием, что поскольку конформная размерность вершинных
операторов открытых струн равна единице, то множитель Я,-2 в (3.4.35) и
(3.4.36) нужно заменить на А,-1.
Все обстоит иначе, если имеет место взаимодействие открытых и замкнутых
струн. Например, вершинный оператор замкнутой струны вставлялся бы на
верхней полуплоскости во внутреннюю точку, скажем х = 0, у Ф 0. При
взаимодействии вершинного оператора замкнутой струны с открытой струной
(в верхней полуплокости), а не с замкнутой струной (во всей плоскости)
условие (3.4.37) заменяется на условие
(V(Ky)) = {k-2V(y)). (3.4.38)
Из него не следует равенство нулю вклада от головастика, а вытекает
только то, что <V(у)> пропорционально у~2. Таким образом, головастики
замкнутых струн могут давать вклад, отличный от нуля, на верхней
полуплоскости, на торе, на RP2, а фактически на любой мировой
поверхности, за исключением плоскости (или римановой сферы). Такие
головастики будут нам часто встречаться в гл. 8-10.
204
3. Современное ковариантное квантование
Требуется еще один комментарий. Вершинные операторы и гравитона, и
дилатона имеют вид
V = ^dXdaXveik'x, (3.4.39)
где k2 = 0. Тензор поляризации симметричен и удовлетворяет условию
k%v = о, (3.4.40)
для того чтобы оператор (3.4.39) имел правильную конформную размерность.
В случае гравитона тензор является бесследо-вым, потому что, как будет
показано ниже, след этого тензора описывает частицы со спином нуль.
Заметим, что тензор поляризации определяется с точностью до
