Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
можно найти, как и в чисто гравитационном случае, вычисляя поправки более
высокого порядка теории возмущений в сигма-модели.
Мы обсудили члены взаимодействия в сигма-модели с двумя производными на
мировой поверхности, которые соответствуют вершинным операторам
безмассовых полей. Можно также постараться включить и другие операторы в
лагранжиан сигма-модели. Особенно просто включить в лагранжиан член
взаимодействия без производных 5(^), где 5 - некоторая скалярная функция.
Так как вершинный оператор тахиона eik x не содержит производных,
включение взаимодействий без производных соответствует тому, что среднее
тахионного поля будет отлично от нуля. В бозонной сигма-модели довольно
естественно это сделать, а фактически, по-видимому, неестественно не
сделать этого. Вычисляя в однопетлевом приближении бета-функцию, даже в
чисто гравитационном случае мы столкнулись с квадратичными
расходимостями, которые нами были проигнорированы на том основании, что в
размерной регуляризации они не важны. Наличие квадратичных расходимостей
в действительности отражает тот факт, что в сигма-модель можно было бы
включить взаимодействие без производных нулевой размерности.
3.4.6. Среднее дилатона и константа взаимодействия струн
Формализм, с помощью которого мы в данном разделе изучали распространение
струн в фоновых полях, позволяет понять много такого, что труднодоступно
для понимания при других подходах. Здесь мы приведем лишь один пример, в
котором результат удобнее всего получить, рассуждая на языке сигма-
модели.
Если рассматривается рассеяние гравитонов в теории бозонной замкнутой
струны (или, в сущности, рассеяние любых ее мод), то в каждой вершине
взаимодействия должен быть мно-
210
3. Современное ковариантное квантование
житель, являющийся константой гравитационного взаимодействия. Древесная
диаграмма с М внешними гравитонами содержит М - 2 вершины, как изображено
на рис. 3.9, а, а каждая
Рис. 3.9. Амплитуда рассеяния М гравитонов на уровне древесных диаграмм
(рис. а)) пропорциональна км~2. Как показано на рис. b), каждая петля
добавляет дополнительный множитель х2.
петля добавляет еще две, см. рис. 3.9, Ь. Таким образом, петлевая
диаграмма общего вида пропорциональна
хм ¦ к-*"-*), (3.4.58)
где М - число внешних вершинных операторов, a g- род ри-мановой
поверхности, равный числу петель. Множитель хм можно включить в
нормировку внешних вершинных операторов; просто вместо V мы будем
пользоваться операторами xV в качестве вершинных операторов для
испускания струнного состояния. Сосредоточимся теперь на интерпретации
множителя уг'2<i_g), зависящего от количества петель. При обычном
построении струнной бозонной теории кроме константы х, которая в-26-мерии
имеет размерность (длина)12, в нее также входит параметр а' размерности
(длина)2. Поэтому на первый взгляд может показаться, что теория замкнутой
бозонной струны содержит произвольный фундаментальный безразмерный
параметр
3.4. Струны в фоновых полях
211
а//х1/б. Мы были бы весьма разочарованы, если бы согласование квантовой
механики и теории гравитации привело к необходимости ввести еще одну
фундаментальную безразмерную константу. К счастью, это не так. Вернемся к
сигма-модели с действием S = Si + S2 + S3, которую мы рассмотрели в
предыдущем разделе. Статистическая сумма представляется в виде
функционального интеграла по поверхности рода g
Zg = x~2(1~g) J DX*Dhe~s-' (3.4.59)
Здесь мы специально выделили множитель х-2(1-е>, который, по-видимому,
необходим, если учесть (3.4.58).
Чтобы понять, почему в теории бозонной замкнутой струны нет
фундаментального струнного параметра, нужно обратить внимание на
относительно простую зависимость в формуле (3.4.59) от поля дилатона Ф.
Возвращаясь к формулам (3.4.47), {3.4.52) и (3.4.53), мы видим, что при
сдвиге
Ф->Ф + а (3.4.60)
(где а - произвольная константа) действие сигма-модели изменяется
следующим образом:
S->S + 2a(l -g). (3.4.61)
В формуле (3.4.59) такое изменение действия эквивалентно переопределению
константы гравитационного взаимодействия
х-*е"ах. (3.4.62)
Так что постоянную х можно включить в сдвиг вакуумного среднего поля Ф,
т. е. х не является фундаментальным параметром теории.
Полученный результат можно также проверить, используя низкоэнергетическое
эффективное действие (3.4.57). Хотя в
(3.4.57) константа гравитационного взаимодействия х появляется в виде
свободного параметра, на самом деле ее можно включить в сдвиг значения
поля Ф. (Это не приведет к изменению значения а', так как а' не входит в
S3.) Вместо однопараметрического семейства теорий, различающихся
значениями фундаментального безразмерного параметра а'/х1/6> в качестве
теории бозонной струны мы имеем одну-единственную теорию, в которой на
уровне древесных диаграмм имеется однопараметрическое семейство вакуумных
состояний, различающихся вакуумными средними безмассового скалярного поля
Ф.
Изложенное в этом разделе можно обобщить и на случай суперсимметричной
