Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
(3.4.47) на самом деле является топологическим инвариантом, который не
приводит к какой-либо динамике двумерной метрики h. Чтобы убедиться в
том, что действие (3.4.47) действительно является топологическим
инвариантом, заметим прежде всего, что в пространстве любой размерности
тензор Римана Raруб удовлетворяет условию
Ra$y6 == == ^арйу (3.4.48)
В двумерии антисимметричный тензор второго ранга должен быть
пропорциональным тензору еар, так что Ri2ly& пропорционален R(2\ Поэтому
Ralyb = (hayhftt - fcpvM /?<2>/2. (3.4.49)
*) е"^ принимает значения е01 = -е10 = ё00 = е11 = 0. В .действи-
тельности это плотность тензора, так как e"^/VA преобразуется как теизор.
3.4. Струны в фоновых полях
207
Свертывая (3.4.49) с тензором АР(r), получаем в двумерии
Л!cry - у hayR{2) = 0. (3.4.50)
С другой стороны, в пространстве любого числа измерений вариация действия
(3.4.47) при инфинитезимальном варьировании метрического тензора равна
j ёпол/Ъдка* (/?ар-у vO' {3-4-51)
что в силу (3.4.50) в двумерии обращается в нуль. Это не означает, что в
двумерном пространстве действие (3.4.47) зану-ляется. Это означает, что
действие (3.4.47), будучи инвариантным относительно произвольных вариаций
метрики мировой поверхности, зависит только от топологии мировой
поверхности струны. Как будет установлено в разд. 12.5.3, стандартный
результат состоит в том, что если мировая поверхность струны является
компактной римановой поверхностью рода g, то
Х = 2(l-g). (3-4.52)
Величина % известна как эйлерова характеристика двумерного многообразия.
Будучи топологическим инвариантом мировой поверхности, действие (3.4.47)
фактически не влияет на динамику о-модели. Однако, используя
безразмерность скалярных полей в двумерии, мы можем обобщить действие
(3.4.47) до более общего перенормируемого действия
S3 = J d2a У/Г Ф (*р) Я(2). (3.4.53)
Это оказывается правильным способом включения 26-мерного поля дилатона в
сигма-модель.
Рассмотрим теперь сигма-модель с действием S = Si + + S2 + S3 и проверим,
является ли оно конформно инвариантным. Для этого выберем метрику мировой
поверхности в следующем виде:
Лаэ = ефЛаэ. (3.4.54)
Работая в пространстве 2 + в измерений, вычислим зависимость эффективного
действия от ф и посмотрим, обращается ли оно в нуль в пределе в-"-0.
Условия вейлевской инвариантности
208
3. Современное ковариантное квантование
в двумерии выполняются, если в низшем нетрививальном приближении имеют
место равенства
0 = /?," + т н"н^р ~ 2ЗДФ,
0 = ад^-2(?>ьФ)Я^, (3.4.55)
0 = 4 (Д^Ф)2 - 4Д^Ф +
где тензор
Я^р = а^р + дрВ^ + д^ (3.4.56)
является антисимметричным тензором напряженности поля третьего ранга,
инвариантным при "калибровочных преобразователях" 8Biiy = dv_Av - dvA^..
(Ковариантные производные в пространстве D измерений обозначаются через
Dц, а на мировой поверхности - через Va.) Если не ограничиваться
пространством размерности -0 = 26, то в третьем равенстве в (3.4.55)
имеется дополнительный член (D - 26) /За'.
Мы не будем приводить вычислений, чтобы получить равенства (3.4.55); эти
вычисления аналогичны выполненным ранее для чисто гравитационного случая,
хотя и намного сложнее. Стоит, однако, обратить внимание на одну
тонкость. Хотя Si и S2 в том виде, в каком они определены выше, на
классическом уровне вейль-инвариантны, действие S3 таким свойством не
обладает. Тогда какой же смысл при обсуждении вейлевской инвариантности
добавлять действие S3 к действиям Si и S2? Причина, по которой это имеет
смысл по крайней мере на техническом уровне, состоит в том, что по
соображениям размерности Si и S2 пропорциональны 1/а', а действие S3 -
нет. Так как ряд теории возмущений - это в действительности ряд по
степеням а', то действие S3 должно рассматриваться как величина порядка
а' по сравнению с действиями Si и Si- С учетом этого логично сравнить
эффект действия S3 в классической теории с квантовыми эффектами, к
которым приводят действия Si и S2. Такое сравнение и нужно провести для
того, чтобы вывести первое уравнение в (3.4.55). В последнее уравнение в
(3.4.55) дают вклад однопетлевые диаграммы, построенные из действия S3, и
двухпетлевые диаграммы, построенные из действий
Si и S2; все эти вклады являются величинами одного и того же порядка
по а'.
Решающей проверкой всего этого подхода является то, что равенства
(3.4.55) должны иметь- разумную физическую интерпретацию. На самом деле
легко можно убедиться в том, что они являются уравнениями Эйлера -
Лагранжа в теории
3.4. Струны в фоновых полях
209
с 26-мерным действием
526 = - 2^- 5 Л Vg е~2Ф (/? - 4?>(ХФ?>1*Ф + Л. Я^рЯ^р) .
(3.4.57)
Таким образом, формула (3.4.57) описывает длинноволновой предел
взаимодействий безмассовых мод замкнутой бозонной струны. При желании
гравитационное действие в (3.4.57) можно
привести к виду ^d^x-y/gR, а не ^ d26x л/g е-2Ф/?, включив
соответствующую степень множителя е~ф в определение пространственно-
временной метрики g^v. Поправки к (3.4.57), возникающие в теории струн,
