Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
была бы функция
У* (а, 0) = *•* (а) + 0V* (а) + у 00В", (4.1.16)
зависящая произвольным образом и от бозонных, и от фермион-ных координат
суперпространства. Такая функция называется суперполем. Выражение
(4.1.16) является полным степенным рядом по степеням 0, так как из
антикоммутирующих свойств переменных 0 следует, что любое их
произведение, содержащее более двух сомножителей, обращается в нуль.
Суперполе У^ объединяет поля X11 и с новым полем В", полезность которого
на первый взгляд может быть неочевидной.
Начнем с объяснения того, как суперпространство делает суперсимметрию
явной. Суперсимметрия в суперпространстве представляется генератором
ЯА=~^А + Прав)Ада. (4.1.17)
Часто оказывается удобным ввести произвольный антикоммутирующий параметр
ел - инфинитезимальный параметр преобразования суперсимметрии, и работать
не с Qa, а с eQ. Последний генерирует преобразование
60Л = [ё<2, вА] = еА,
6oa = [iQ, cra] = гера0 (4.1.18)
координат суперпространства. Таким путем преобразования суперсимметрии
реализуются в суперпространстве как "геометрические" преобразования.
Суперзаряд Q также может быть использован для определения преобразований
координат в соответствии с тем, что
6У11 = [eQ, У11] = eQy^. (4.1.19)
Так как
faQ, 82Q] = - 2ie1pae2da, (4.1.20)
то очевидно, что и без использования уравнений движения
[6и 62]Уц = -авааУ'1, (4.1.21)
где аа определено в (4.1.10). Раскладывая (4.1.19) по
компо-
нентам и используя двумерные соотношения Фирца
еЛ = -у^ АеС) (4.1.22)
220
4. Суперсимметрия мировой поверхности
получим
6ХЦ = ёг|Л
6i|>" = - 1раедаХ^ + В\ (4.1.23)
= - /ёрада1|Л
Эти формулы сведутся к формулам преобразования (4.1.8), если положить В^
= рада1|)^ = 0, что соответствует тому факту, что в нашей первоначальной
формулировке поле В^ отсутствовало, а радаф^ в силу уравнения поля было
равно нулю. Из-за той роли, которую играет вспомогательное поле
Взамыкание алгебры суперсимметрии в этом случае достигается без
использования уравнений движения.
Пусть теперь Уь ..., У* - некоторые суперполя. Их закон преобразования
при преобразованиях суперсимметрии имеет вид ЗУk =e,QYk. Любое
произведение таких суперполей преобразуется аналогично. Например,
6(y,y2) = eQ(y1y2). (4.1.24)
Это происходит из-за того, что оператор eQ, будучи дифференциальным
оператором первого порядка в суперпространстве, удовлетворяет правилу
Лейбница
eQ (У,У2) = Щ (У,) У2 + y^Q (У2), (4.1.25)
характерному для такого типа операторов первого порядка. Такое свойство
оператора является гарантией того, что если У1 и У2 преобразуются как
суперполя, то, как видно из (4.1.24), так же будет преобразовываться
произведение У1У2. Этот результат не должен удивлять. Суперполе является
просто функцией в суперпространстве, и естественно, что произведение двух
•функций Yi и У2 снова является такой же функцией.
Мы хотели бы научиться, используя суперпространство, записывать
лагранжиан, инвариантный относительно преобразований суперсимметрии
(4.1.23). Для этого нам прежде всего необходим оператор производной,
инвариантный относительно преобразований суперсимметрии. Им является
оператор
D = j^-i9-Bda. (4.1.26)
Этот оператор известен как ковариантная производная в суперпространстве.
Его основные свойства состоят в том, что он ан-тикоммутирует с Q,
{Дъ Qb} = 0, (4.1.27)
4.1. Классическая теория
221
и удовлетворяет условиям
{Da, DB} = 2i(pa)ABda (4.1.28)
или
{Da, DB} = 2i(pap°)ABda. (4.1.29)
Ковариантная производная в суперпространстве оказывается полезной при
построении лагранжианов по следующей причине. Равенство (4.1.27) является
гарантией того, что если объем преобразуется при преобразованиях
суперсимметрии как 8Y = = eQy, то его ковариантная производная DaY
преобразуется таким же образом. Следовательно, ковариантная производная
суперполя снова является суперполем. Это позволяет нам записать
суперсимметричный лагранжиан, содержащий производные, - как, разумеется,
и все интересные лагранжианы.
Другим существенным моментом при построении действия, инвариантного
относительно преобразований суперсимметрии, является то, что нужно иметь
меру интегрирования в суперпространстве. Естественный выбор -¦ интеграл
по "всему" суперпространству
JdW20, (4.1.30)
где фермионное интегрирование d2Q является стандартным интегралом
Березина для фермионов. Интеграл Березина определяется так, что интеграл
по антикоммутирующим координатам от функции общего вида равен')
J dW (а + 01*, + Э2Ь2 + 01В2с) = с. (4.1.31)
Другими словами, интегрирование выделяет коэффициент при в1(c)2. Отсюда
следует, что (так как 00 = 0р°0 = -2/0!02)
^ d2800 = - 2г. (4.1.32)
Как и обычные интегралы по бозонным переменным, интеграл Березина
обладает тем свойством, что можно интегрировать по частям:
Jd20-^- = O (4.1.33)
для любого V¦ Равенство (4.1.33) выполняется в силу того, что производная
по 0 убирает одну из двух тет в подынтегральном
*) Обсуждая функциональный интеграл по антикоммутирующим духовым
