Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
(i|^(a), а|э? (ст')} = яг)^блвб (ст - ст')- (4.1.7)
Это антикоммутационное соотношение является квантовым аналогом скобок
Пуассона для грассмановых переменных. Знакомая нам проблема предстает по-
новому. Поскольку ri00== - 1, "времениподобные" фермионы i|5°, (ст)
порождают состояния с неправильной метрикой, так же как это делали
"времениподобные" бозоны Л°(о). Условия Вирасоро, добавленные к (4.1.2),
могут, как и в чисто бозонной модели, быть достаточными для устранения
мод с неправильной метрикой, порожденных
¦) Говоря точнее, в размерности 1 + 1 понятие спина не определено, но
существует двумерная группа Лоренца (или локальная группа Лоренца в
случае общековариантной теории), и имеет смысл выяснить, как двумерное
поле преобразуется под действием этой группы. Теорема о связи спина со
статистикой утверждает, что в локальной квантовой теории поля в двух
измерениях антикоммутирующие поля должны иметь полуцелые лоренцевы
квантовые числа.
4.1. Классическая теория
217
компонентой Jf°(a), но, чтобы решить аналогичную проблему для (а), мы
должны найти новую симметрию и новые связи, которые могут сделать для
фермионов то же, что условия Вирасоро делают для бозонов. Оказывается,
что этот шаг можно осуществить. Новая симметрия является суперсимметрией,
или, точнее, суперконформной симметрией. Выяснилось, что отсюда вытекает
множество результатов.
4.1.1. Глобальная суперсимметрия мировой поверхности
Новая симметрия свободной теории поля с действием (4.1.2) на первый
взгляд может показаться неожиданной, но в действительности
продемонстрировать ее не представляет особого труда. Пусть е является
постоянным (т. е. независящим от а и т) антикоммутирующим
инфинитезимальным майорановским спинором. Действие 5 в (4.1.2)
инвариантно относительно инфини-тезимальных преобразований
ЬХ" = eW
A.I* • vii (4Л-8>
6т|г = - ф даХ е,
где е - постоянный антикоммутирующий спинор. Эти преобразования
перемешивают бозонные и фермионные координаты к получили название
суперсимметричных преобразований.
Основной алгебраический факт, относящийся к суперсимметрии, состоит в
том, что коммутатор двух преобразований суперсимметрии дает
пространственную трансляцию. В данном контексте "пространственная
трансляция" означает трансляцию мировой поверхности струны. Чтобы явно в
этом убедиться, рассмотрим соотношение
[б1; 62] X11 = 6, (ЭД1*) - (1 ^ 2) = аадаХ", (4.1.9)
где
аа = 2/е1рае2. (4.1.10}
Здесь важно, что для майорановских фермионов в 1 + 1
измерениях eip"e2 = - в2Р"в1. Читателю предлагается проверить, что
аналогично
[6Ь 62Иц = аЧ^. (4.1.11)
Здесь необходимо воспользоваться тем фактом, что г|э удовлетворяет
уравнению Дирака, выведенному из действия (4.1.2), а именно р"<3а^== 0. В
следующем подразделе мы переформулируем теорию в таком виде, в котором
алгебра суперсимметрии замыкается и без использования уравнений движения.
218
4. Суперсимметрия мировой поверхности
Используя формулу (4.1.2) и следующие за ней формулы
(4.1.8) закона преобразования суперсимметрии, можно вывести формулу
для супертока и тензора энергии-импульса. Эффективный способ сделать это
основан на методе Нётер, описанном в разд. 2.1.3, и заключается в
следующем. Рассмотрим, например, преобразование суперсимметрии (4.1.8).
Если е является постоянной величиной, то оно оставляет действие S
неизменным. Если же е не является константой, то преобразование (4.1.8)
меняет действие и его вариация имеет следующий общий вид:
6S = ~ ^d2e(dat)Ja. (4А. 12)
Величина является тогда сохраняющимся нётеровским током, как это было
объяснено в разд. 2.1.3. Эта процедура, примененная в преобразованиях
(4.1.8), приводит к формуле для су-лертока
Ja = jpWdfiXil (4.1.13)
(где выбрана удобная в дальнейшем нормировка). Она же, примененная к
трансляции 6ст" = const, приводит к формуле для тензора энергии-импульса;
Гар = djTdfa + i +1 - (след) • (4.1.14)
Читателю настоятельно рекомендуется проверить с помощью уравнений
движения, что токи (4.1.13) и (4.1.14) действительно сохраняются. Тензор
энергии-импульса является бесследовым, совсем как в чисто бозонной
теории, так что в компонентах светового конуса 7+ _ = Т- + = 0. Некоторые
компоненты супертока тоже обращаются в нуль, так как они удовлетворяют
аналогичному условию
р"/а = 0 (4.1.15)
вследствие тождества р"р|3ра = 0, которое выполняется в двумерии.
4.1.2. Суперпространство
Действие (4.1.2) является действием двумерной теории поля,
•сформулированной в обычном двумерном пространстве 2, т. е. на мировой
поверхности струны. Суперсимметрию можно сделать явной, если рассмотреть
теорию в двумерном суперпро--странстве 2, в котором к координатам мировой
поверхности а(r) добавляются еще две грассмановы координаты 0Л, образующие
двухкомпонентный майорановский спинор. Антикоммутирующие
4.1. Классическая теория
219
координаты сначала могут показаться странными, но в действительности ими
не так трудно пользоваться. Произвольной функцией Y* в суперпространстве
