Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
мерном пространстве-времени. Если мы хотим обобщить теорию бозонной
струны, то действие
(4.1.1) можно заменить на действие более общей двумерной полевой
теории. При этом самой простой возможностью является та, в которой более
общая теория могла бы снова быть свободной полевой теорией1). Таким
образом, мы приходим к идее о необходимости введения в (4.1.1)
дополнительных свободных полей. Физически они соответствовали бы
внутренним степеням свободы, которые могут свободно распространяться
вдоль струны. Можно исследовать различные варианты. Например, можно
постараться ввести свободные фермионные поля г|)л (ст, т). (Прописные
буквы А, В, С обозначают индексы спиноров мировой поверхности. В двумерии
спинорный индекс А принимает два значения, если рассматриваются обе
киральности.) Если следовать таким путем, нужно определить, должен ли
фермион if) быть дираковским или майорановским и должен ли он нести
дополнительные квантовые числа. Имеется удивительно немного вариантов,
которые приводят к интересным теориям. Один из них сводится к введению
.D-мультиплетов майорановских фермионов (ст, т),преобразующихся по
векторному представлению
*) Может показаться странным, что мы стараемся обобщать действие (4.1.1),
а не репараметризационно инвариантный лагранжиан, из которого оно
получается выбором конформной калибровки. Оказывается, что, используя
(4.1.1), легче догадаться, каким образом осуществить обобщение. Поняв
ключевые моменты этого обобщения, мы сможем вернуться назад н найти
соответствующий репараметризационно инвариантный лагранжиан.
4.1. Классическая теория
215
группы Лоренца SO(D - 1, 1). Рассмотрим поэтому лагранжиан
5 = --SrSd2(r)^a^X-/^padei|>M}. (4.1.2)
Здесь символ ра представляет двумерные матрицы Дирака (символы 7^ и ]>
резервируются для четырехмерных и .D-мерных пространственно-временных
гамма-матриц). Удобен базис
Эти матрицы удовлетворяют условию
{pa, pP} = _2tjaP. (4.1.4)
Компоненты спинора ф в этом базисе будут обозначаться через г|)±:
Мы выбрали матрицы р" чисто мнимыми, так что оператор ipada является
вещественным, и имеет смысл потребовать в этом представлении алгебры
Дирака, чтобы компоненты спинора мировой поверхности г|^ были
вещественными. Такой двухкомпонентный вещественный спинор известен как
майорановский спинор. Символ rj;, как обычно, означает произведение ф+р°-
Майорановские спиноры удовлетворяют набору важных тождеств, которые не
выполняются для дираковских спиноров. Например, для майорановских
спиноров % равно просто хгР°; нет необходимости брать комплексное
(или_эрмитово) сопряжение от %, так как оно вещественно. Поэтому
совпадает с р^вХл^в-Так как р° - антисимметричная матрица, последнее
выражение симметрично по х, и гр, если они являются антикоммутирующими
переменными, так что в этом случае
Xt = 4>X- (4.1.6)
Такие манипуляции являются типичными для работы с майора-новскими
фермионами в двумерии.
Несколько моментов в действии (4.1.2) могут вызвать недоумение. Прежде
всего введение антикоммутирующего поля гр, преобразующегося как вектор,
т. е. бозонное представление группы SO(D-1,1), кажется несколько
противоречащим интуиции. Этот выбор означает, что ^ с пространственно-
временной точки зрения отображает бозоны в бозоны, а фермионы в фермионы.
Хотя это и может противоречить интуиции, все же
216
4. Суперсимметрия мировой поверхности
не вступает в конфликт с теоремой о связи спина и статистики. Наоборот,
(4.1.2) является действием двумерной теории поля, а не теории поля,
определенной в пространстве-времени, и преобразуется как спинор при
преобразованиях двумерной мировой поверхности в полном согласии с обычной
связью спина и статистики1). Группа Лоренца SO(D - 1, 1) является просто
группой внутренней симметрии (в рамках подхода мировой поверхности), и из
теоремы о связи спина и статистики ничего не следует относительно того,
должны ли антикоммутирующие поля преобразовываться как векторы или как
спиноры при преобразованиях из группы внутренней симметрии. Приписывание
ло-ренцевых квантовых чисел полю г|), хотя и не приводит к парадоксам,
все же выглядит странно, и мы позже вновь вернемся к этому вопросу.
На самом деле имеется более насущная проблема, с которой мы сталкиваемся,
пытаясь понять действие (4.1.2) как действие двумерной квантовой теории
поля. Напомним, что коммутационными соотношениями бозонных координат при
равных х являются соотношения [-Х^(а), J?v(0'),] = стг)^'б(а - а').
Лорен-цева метрика не является положительной, и по этой причине
осцилляторы -Х°(а) в (4.1.1) порождают моды с неправильной метрикой, или
"духи". К счастью, алгебра симметрии действия
(4.1.1) является бесконечномерной алгеброй Вирасоро, которой можно
воспользоваться для устранения духов в пространстве критической
размерности D = 26. Чтобы придать смысл действию (4.1.2), мы должны
столкнуться с совершенно аналогичным вопросом для фермионов. Из (4.1.2)
можно вывести коммутационные соотношения при равных х для фермионов:
