Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
отмечены кружками, для нисходящих - треугольниками.
Остановимся на такой характеристике форм колебаний, как нормальное к
плоским поверхностям диска смещение иг. На рис. 86 показано распределение
относительной величины нормального смещения иг для четырех, отмеченных на
рис. 85 кружочками, точек: 2 - R = 5,45, Q = 1,3821; 3 - R = 7,5, Q =
1,3927; 4 - R = = 9,3, Q = 1,3990; 5 - Д = 11,0, Q = 1,4029. При
сравнении кривых рис. 86 следует иметь в виду, что выбор фазы является в
определенной мере произвольным. В связи с этим здесь и далее для
наглядности используется противофазное изображение для однотипных кривых.
Построение этих кривых в рамках одного рисунка является следствием
стремления классифицировать восходящие участки спектральных кривых на
рис. 85 как соответствующие одному и тому же типу движения частиц диска.
Чтобы оправдать это стремление и убедиться в том, что различия между
кривыми на рис. 86 не столь существенны, следует прежде всего обратить
внимание на степень различия между формами колебаний, отвечающими точкам
нисходящих и восходящих участков спектральных
218
кривых третьего семейства. Для этого достаточно сравнить рельеф плоских
поверхностей диска в формах колебаний, соответствующих точкам, отмеченным
на рис. 85 кружочком (на рис. 86 кривая 4) и треугольником (на рис. 87
кривая 3) на четвертой ветви третьего семейства. Видна разница в
характере форм колебаний, отвечающих различным точкам одной и той же
спектральной кривой.
Дополнительным аргументом в пользу объединения восходящих участков в одну
моду является также большая степень
подобия в формах колебаний, отвечающих нисходящим] участкам спектральных
кривых. Типичная ситуация "перескока" формы колебаний с одной
спектральной кривой на другую в окрестности областей взаимодействия
различных типов движений представлена на рис. 87, где кривые 4 и 3
соответственно характеризуют рельеф поверхности диска для точек,
отмеченных треугольником на четвертой и третьей спектральных линиях рис.
85.
Данные на рис. 86 относятся к первым (при возрастании R) восходящим
участкам на спектральных кривых третьего семейства. Аналогичная картина
подобия форм колебаний сохраняется и при рассмотрении последующих
восходящих участков в изученном диапазоне R (R ^ 25). При этом для вторых
участков в распределении иг есть два узла, для третьих - три.
Отмеченное подобие форм на соответствующих восходящих участках
спектральных кривых позволяет считать, что эти участки соответствуют
новым, не анализировавшимся ранее формам движения в окрестности
толщинного резонанса, которые будем называть В-модами. Подчеркнем, что с
увеличением параметра R возрастает количество В-мод разного порядка,
которые проявляются в диапазоне частот Q* < Q < Q*. При этом в качестве
характеристики порядка В-моды можно принять число узловых окружностей в
распределении смещения иг.
Тип движения, связанный с нисходящими участками спектральных кривых,
будем описывать, используя термин Л-моды Этим подчеркивается их связь с
экспериментально наблюдаемыми Л-модами [195], хотя в указанной работе и
нет четкого описания их специфики и связи с формами колебаний на частотах
ниже частоты толщинного резонанса Нумерацию Л-мод целесообразно ввести в
соответствии с нумерацией порядка возрастания номера с точки трехкратного
вырождения собственных частот. Отметим также, что увеличение на единицу
номера Л-моды приводит к увеличению на
219
единицу числа узлов в распределении иг. Предлагаемый способ объединения
отдельных участков спектральных кривых третьего семейства в Л- и В-моды
соответствующего порядка использован для их обозначения на рис. 85.
Кроме описанных выше типов движений, соответствующих Л-и В-модам, в
окрестности частоты Qt для определенных геометрических размеров диска
могут проявляться формы движений на переходных участках спектральных
кривых. Представление об этих типах движений можно составить по данным
рис. 88, где кривая 1 отражает распределение осевых смещений иг для
спектральной кривой 4 (см. рис. 85) при R = 7,451, й = }^2 (мода Лэмба
(3.1)), а кривые 2-4 соответствуют последовательно возрастающим значениям
R (8,0; 8,4; 9,3) для той же четвертой спектральной кривой и показывают
трансформацию форм колебаний при переходе от Л4- к В1-моде.
Приведенные результаты для случая v = 0 являются основой для анализа
усложненной дополнительными взаимодействиями между отдельными типами
движений картины в случае v Ф 0.
§ 6. ТОЛЩИННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИСКА С НЕНУЛЕВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПУАССОНА
При анализе спектра собственных частот диска в случае v Ф 0 наибольший
интерес представляют те зоны значений геометрии и частоты, для которых в
случае v = 0 имеем дву- и трехкратное выражение собственных частот. Этим
случаям на рис. 84 соответствуют точки пересечения кривых различных
семейств.
Появление связи между различными типами движений приводит к исчезновению
кратных частот и видоизменению структуры спектра. При этом мы имеем
