Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
[159]. В ней показано, что без выделения локальных особенностей поля
можно, увеличивая количество аппроксимирующих функций, получить ухудшение
точности выполнения граничных условий.
После решения конечной системы, соответствующей системе
(7.4), получаем значения всех коэффициентов бесконечных рядов для
смещений и напряжений в цилиндре. Это позволяет использовать обычные
способы улучшения сходимости, подробно описанные выше при рассмотрении
первой основной граничной задачи. Для практического их применения
необходимо использовать значение суммы ряда (7.9), а также соотношения
[33]
оо
IV
п=I '
r\nnh 7,, (r\nh)
_!n ------------------------ _-----cos T1 2 =
2 i f, . яа ,n
4 n
(h2 - z2)~ahl+a hl~aVn
,2_аг
22-"r(4--a)sin
sm тi"2:
2 / 2 г (ft2 - z2)~" ha
(7.19)
" i I г* яа _i (у-л v яа
n-1 а cos -2 аГ (1 - a) cos -
232
Здесь Г (х) - гамма-функция. Роль этих рядов в процессе улучшения
сходимости становится понятной, если принять во внимание следующие
равенства:
lim
lim
-i rY-ц
(_i)n
лЛ 2~~
^у,-а (ЦпЩ
sin ¦
ла
1,
^3/s-а (Чп!1)
cos
(7.20)
Конкретные расчеты были проведены для диска из материала с величиной v =
0,3 (а = 0,28883) при возбуждении колебаний равномерно распределенными по
поверхности г = ±/г нормальными нагрузками, g (г) == g0. В диапазоне 3 ^
^ 10, 0 < Q < Q*
(Q*= 1,76) в структуре спектра собственных частот примечательных
особенностей не обнаружено. Наиболее интересным обстоятельством,
выясненным при рассмотрении смешанной задачи, является то, что резонансы
на нераспространяющихся модах в данном диапазоне частот не возбуждаются.
Ни при анализе структуры спектра, ни при рассмотрении форм колебаний не
удается обнаружить явление, которое можно было бы считать аналогом
краевого резонанса для диска со свободными краями. Что касается области
частот Q* < Q < Q*, то и в ней также наблюдается сгущение спектра
собственных частот диска. Систематизация результатов в указанном
частотном диапазоне представляет весьма сложную задачу. В отличие от
случая свободного диска рассмотрение задачи для v = 0 не дает здесь
результатов, которые можно было бы использовать как базу для такой
систематизации.
§ 8. ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ В НЕОСЕСИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ
В общем случае неосесимметричной деформации цилиндра (см. рис. 74) все
характеристики напряженно-деформированного состояния являются функциями
трех координат г, 0, г. При изучении спектра собственных частот и форм
колебаний задача естественно распадается на последовательность задач с
определенным типом изменяемости в окружном направлении, описываемым
угловыми функциями cos /0 или sin /0, I = 1, 2, ...
Как уже отмечалось, при изучении частотного спектра и собственных форм на
основе решения задачи о вынужденных колебаниях нет необходимости
рассматривать общий случай нагружения на поверхности цилиндра. В связи с
этим далее считаем, что касательные напряжения хгг и т2е на торцах г =
±/г цилиндра отсутствуют. Это позволяет существенно упростить форму
общего решения задачи. Используемый в работе метод суперпозиции,
естественно, применим и для построения решения, позволяющего
удовлетворить трем неоднородным условиям на торцах. При этом не
233
требуется каких-либо новых частных решений уравнений движения по
сравнению с представленными в главе 4. Однако следует иметь в виду, что
при удовлетворении граничным условиям по касательным напряжениям нужно не
рассматривать их покомпонентно, а выполнять условия для двух линейных
комбинаций + т2е и т2Г - т20. Эта рекомендация является следствием общих
подходов к построению решений граничных задач теории упругости [135].
Конкретно рассматривается следующая граничная задача для случая
симметричной относительно срединной плоскости z = О деформации:
-аг = / (2) COS/0, -^Г- Хтг = -4~- ТГ0 = О, Г = 1,
2(3 I 2О 2G
20 = 8 (^) 20 ^ " 20 ^ = Z " ± h, (8.1)
f(-z)ssf (г).
В рамках используемого метода представление компонентов вектора смещений
в данной задаче включает две составляющие. Первая из них должна
обеспечить возможность удовлетворения граничным условиям на боковой
поверхности г = 1. Выражения для компонент вектора смещений этой
составляющей имеют вид
и' = cos /0 {Л0 dJl^r)- + H0~Ji (Q%f) +
+ X k - °n + Hn± I, (V)] cos V}"
n=\
U% = -sin m{A0-L J, (?V) + Д0 dJl<§?~ +
eo -
+ 2 lAn~rII -Gn-yh (q2r) + d/y j cos x\nzj
(8.2)
n=I
"I
Uz = COS /0
n=l
- (<7K) +Gn -11 (q</) sin r}nz
Здесь r]" = qt и определены формулы (1.9); /, (x) и (x) -
обычные обозначения для функций Бесселя /-го порядка.
Выражения (8.2) содержат три последовательности произвольных постоянных
Л", G" и Нп. Используя их значения, можно выполнить произвольные
неоднородные граничные условия на цилиндрической поверхности. Принятое в
(8.1) допущение о равенстве нулю касательных напряжений при г - 1 не
приводит к каким-либо упрощениям при построении первой составляющей
общего решения. В противоположность этому при построении второй
